Question

1)d^2y/dx^2-4 dy/dx+13 =0 где y=2 dy/dx=1 х=1 продифференцировать и найти частное решение

Answer 1

Добрый день! Я буду выступать в роли вашего школьного учителя и помогу вам разобраться с этим уравнением.

Дано уравнение:
d^2y/dx^2 - 4(dy/dx) + 13 = 0

Первым шагом давайте найдем первую производную от уравнения, используя правило дифференцирования:

d/dx(d^2y/dx^2) - d/dx(4(dy/dx)) + d/dx(13) = 0

Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

d/dx(d(dy/dx)/dx) - 4(d(dy/dx)/dx) + 0 = 0

Теперь продифференцируем y и dy/dx:

d^2(y)/dx^2 - d/dx(4(dy/dx)) = 0

Используя правило дифференцирования константы, получим:

d^2(y)/dx^2 - 4(d^2y/dx^2) = 0

Теперь преобразуем уравнение:

d^2(y)/dx^2 - 4d^2y/dx^2 = 0

Сгруппируем производные:

(d^2(y) - 4d^2y)/dx^2 = 0

Теперь, чтобы этот дифференциальный оператор равнялся нулю, числитель должен быть равен нулю:

d^2(y) - 4d^2y = 0

Раскроем скобки:

d^2(y) - 4d^2y = 0

Получаем уравнение:

-3d^2y = 0

Теперь решим это уравнение. Оно является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Через x обозначим предложение вопроса.

d^2y/dx^2 = 0

Теперь найдем частное решение этого уравнения. Для этого нужно проинтегрировать его два раза:

∫d^2y ∫dx^2 = ∫0 ∫dx

Интегрируя два раза, получим:

dy/dx = C1*x + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем эти постоянные, используя начальные условия y = 2 и dy/dx = 1, когда x = 1.

Подставим x = 1 и y = 2 в уравнение:

1 = C1*1 + C2

1 = C1 + C2 — (1)

Теперь продифференцируем частное решение по x и приравняем к данному значению:

dy/dx = C1*x + C2

dy/dx = C1

dy/dx = 1 - Согласно начальному условию

Теперь имеем уравнение:

C1 = 1

Теперь, используя уравнение (1), найдем C2:

1 = 1*C1 + C2

1 = 1 + C2

C2 = 1 - 1

C2 = 0

Теперь у нас есть значения C1 и C2, которые мы можем подставить в наше частное решение:

dy/dx = 1*x + 0

dy/dx = x

Теперь, чтобы найти значение y, нужно проинтегрировать dy/dx относительно x:

∫dy = ∫xdx

y = (1/2)*x^2 + C3

где C3 - произвольная постоянная.

Теперь найдем значение C3, используя начальное условие y = 2, когда x = 1:

2 = (1/2)*(1)^2 + C3

2 = (1/2)*1 + C3

2 = 1/2 + C3

C3 = 2 - 1/2

C3 = 3/2

Теперь у нас есть значение C3, которое мы можем подставить в наше общее решение:

y = (1/2)*x^2 + 3/2

Итак, частное решение уравнения d^2y/dx^2 - 4(dy/dx) + 13 = 0, когда y = 2, dy/dx = 1 и x = 1, равно y = (1/2)*x^2 + 3/2.

Надеюсь, я помог вам разобраться с этой задачей! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.