Б) два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох
діаметрально протилежних точок траси у формі кола довжиною 10 км.
Через скільки хвилин мотоциклісти зрівняються в перший раз, якщо
швидкість першого на 12 км/год більша за швидкість другого?
Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂) имеет вид:
(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁) Уравнение прямой АВ:
(x-1)/(2-1)=(y-2)/(-2-2) или -4(х-1)=у-2 или 4х+у-6=0. n₁(4;1)- нормальный вектор прямой АВ.
Координаты нормального вектора прямой СD легко подбираются устно: n₂=(-1;4).
У перпендикулярных прямых нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0.
n₁· n₂=4·(-1)+1·4=0
Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ имеет вид: -х+4у+k=0
Подставляем координаты точки С(6;1) для нахождения k.
-6+4+k=0 ⇒ k=2. Уравнение прямой СD: -x +4y+2=0
Координаты точки М - середины отрезка АС:
х=(1+6)/2=3,5, у=(2+1)/2=1,5.
М(3,5; 1,5)
Уравнение прямой ВМ как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами,
имеет вид: (x-2)/(3,5-2)=(y+2)/(1,5+2) или 3,5(х-2)=1,5(у+2) или 7х-3у-20=0.
Нормальный вектор прямой ВМ n₃=(7;-3).
Угол между прямыми СD и ВМ равен углу между их нормальными векторами n₂(-1;4) и n₃(7;-3).
сos α= n₂ ·n₃/ | n₂|·| n₃|=((-1) ·7+4·(-12))/ √((-1)2+42) ·√(72+(-3)2)=
=-19/√(17) ·√(58).
α=arccos( -19/√(17) ·√(58))=π-arccos( 19/√(17) ·√(58))
это тупой угол, а смежный с ним острый.
В ответе берут острый угол.
О т в е т.arccos( 19/√(17) ·√(58))