Question

Вычисли наименьшее и наибольшее значения степенной функции y=x^3/2 на полуинтервале(3;4].

Answer 1

Для вычисления наименьшего и наибольшего значений степенной функции y=x^(3/2) на полуинтервале (3;4], мы сначала должны найти экстремумы функции в этом интервале. Экстремумы - это точки, в которых функция достигает наибольшего или наименьшего значения.

Шаг 1: Найдем производную функции y=x^(3/2). Для этого используем правило дифференцирования степенной функции: d(x^n) / dx = n*x^(n-1).

Производная функции y=x^(3/2) будет: dy/dx = (3/2) * x^(3/2 - 1) = (3/2) * x^(1/2) = (3/2) * √x.

Шаг 2: Найдем критические точки функции, т.е. значения x, при которых производная равна нулю. Для этого придем к уравнению (3/2) * √x = 0 и решим его.

(3/2) * √x = 0
√x = 0
x = 0

Так как мы ищем значения на полуинтервале (3;4], исключим x=0 из рассмотрения, так как оно не входит в данный интервал.

Шаг 3: Оценим значения производной функции в концах интервала (3;4].

dy/dx = (3/2) * √x

Для x=3: dy/dx = (3/2) * √3 ≈ 1.976
Для x=4: dy/dx = (3/2) * √4 = (3/2) * 2 = 3

Шаг 4: Анализируя значения производной в критических точках и концах интервала, мы можем увидеть, что наименьшее и наибольшее значения функции y=x^(3/2) на полуинтервале (3;4] достигаются в концах интервала.

Наименьшее значение будет соответствовать x=3, следовательно, y=3^(3/2) = 3^(√3) ≈ 7.779.

Наибольшее значение будет соответствовать x=4, следовательно, y=4^(3/2) = 4^(√4) = 4^2 = 16.

Итак, наименьшее значение функции y=x^(3/2) на полуинтервале (3;4] составляет около 7.779, а наибольшее значение - 16.