Question

З точки, що знаходиться на відстані 12 см від площини, проведено дві похилі довжиною 13см. і 20 см. Відстань між основами похилих становить 19 см. Обчислити кут між проекціями цих похилих.

Answer 1

Задача: Из точки, находящейся на расстоянии 12 см от плоскости, проведены две наклонные длиной 13 см и 20 см. Расстояние между основаниями наклонных составляет 19 см. Вычислить угол между проекциями этих наклонных.

Обозначим плоскость как γ, перпендикуляр из точки к плоскости как AB, наклонные как BD и DC, тогда AD и AC — проекции наклонных, отрезок CD — расстояние между основами наклонных, угол α — угол между проекциями наклонных.

ΔBDA и ΔBCA — прямые, т.к перпендикулярны к плоскости (AB⊥γ).

Вычислим AD за т. Пифагора:

    $AD^2=BD^2-AB^2 \:\: \rightarrow \:\: AD= \sqrt{BD^2-AB^2} \\AD= \sqrt{20^2-12^2} = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16 \:\: (cm)$

Вычислим AC за т. Пифагора:

    $AC = \sqrt{BC^2-AB^2} \\AC = \sqrt{13^2-12^2} = \sqrt{169-144}=\sqrt{25} =5 \:\: (cm)$

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла (α) тр-ка по 3-м сторонам:    

    $cos\alpha = \frac{AD^2+AC^2-CD^2}{2\cdot AD\cdot AC} \\cos\alpha = \frac{16^2+5^2-19^2}{2\cdot 16\cdot 5} = \frac{256+25-361}{160} = \frac{-80}{160} =-\frac{1}{2} \\cos(-\frac{1}{2} ) = 120\°\\\alpha = 120\°$

ответ: Угол между проекциями наклонных равен 120°.