Question

Найти объем тела ограниченного поверхностями x+y=4 x=√2y, z=3x/5, z=0

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с этим математическим вопросом.

Мы должны найти объем тела, ограниченного данными поверхностями. Для начала, давайте построим эти поверхности на координатной плоскости.

У нас есть два уравнения для поверхностей:
1) x + y = 4
2) x = √2y

Из первого уравнения мы можем выразить x через y:
x = 4 - y

Затем, подставив это значение x во второе уравнение, мы получим:
4 - y = √2y

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно y. Для этого приведем его к квадратному уравнению:
y^2 - 5y + 4 = 0

Используя квадратное уравнение, мы находим два возможных значения для y:
y1 = 1
y2 = 4

Теперь, подставив эти значения обратно в уравнение x = √2y, мы найдем соответствующие значения x:
x1 = √2 * 1 = √2
x2 = √2 * 4 = 2√2

Итак, у нас есть две точки (x1, y1) и (x2, y2), которые определяют границы тела на координатной плоскости.

Теперь рассмотрим уравнения для z, наших вертикальных поверхностей:
1) z = 3x/5
2) z = 0

Используя значения x и y, которые мы уже нашли, мы можем найти значения z:
z1 = 3 * √2 / 5
z2 = 3 * 2√2 / 5

Теперь у нас есть значения x, y и z, которые определяют границы объема тела.

Чтобы найти объем тела, мы можем использовать формулу для объема параллелепипеда:
V = (x2 - x1) * (y2 - y1) * (z2 - z1)

Подставляя наши значения, получим:
V = (2√2 - √2) * (4 - 1) * (3 * 2√2 / 5 - 3 * √2 / 5)

Далее, мы можем упростить это выражение:
V = √2 * 3 * (2√2 - √2) * (2 - 1) * (2√2 - √2) / 5

Проводя необходимые операции, получаем:
V = 2 * √2 * (√2) * 1 / 5

Сокращая √2, получаем окончательный ответ:
V = 2 * 2 / 5
V = 4 / 5

Таким образом, объем тела, ограниченного заданными поверхностями, равен 4/5.