Question

1) Дано: А(–1; 5; 3), В(–1; –3; 9), С(3; –2; 6).
Является ли ΔAВС – прямоугольным?
2)Дано: ΔАВС, М, N, К – середины сторон соответственно AB, BС, AС.
М(3; –2; –4), N(–6; 4; –10), К(–7; 2; –12).
Найти: координаты вершин А, В, С.

Answer 1

Для решения первого вопроса, мы можем использовать свойство того, что векторное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы перпендикулярны. Если векторное произведение не равно нулю, то векторы не являются перпендикулярными, и следовательно, треугольник не является прямоугольным.

1) Для начала, найдем векторы AB и AC, используя координаты точек A, B и C:
Вектор AB = В - A = (-1 - (-1), -3 - 5, 9 - 3) = (0, -8, 6)
Вектор AC = С - A = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3)

2) Затем найдем векторное произведение векторов AB и AC:
Векторное произведение AB и AC = (0, -8, 6) x (4, -7, 3) = ((-8) * 3 - 6 * (-7), 0 * 3 - 6 * 4, 0 * (-7) - (-8) * 4) = (-6, -24, 32)

3) Проверим, равно ли векторное произведение нулю:
|-6, -24, 32| = sqrt((-6) ^ 2 + (-24) ^ 2 + 32 ^ 2) = sqrt(36 + 576 + 1024) = sqrt(1636) ≈ 40.5

Так как векторное произведение не равно нулю, то треугольник ABC не является прямоугольным.

Для решения второго вопроса, мы можем использовать свойство того, что координаты середины отрезка AB равны полусумме координат точек A и B:

1) Найдем координаты вершины А:
М = (3, -2, -4)
N = (-6, 4, -10)
К = (-7, 2, -12)
Координаты точки А = (2 * М + 2 * К) / 4 = (2 * (3, -2, -4) + 2 * (-7, 2, -12)) / 4 = (6, -4, -8) + (-14, 4, -24) / 4 = (6 - 14, -4 + 4, -8 - 24) / 4 = (-4, 0, -32) / 4 = (-1, 0, -8)

2) Найдем координаты вершины В:
Координаты точки В = (2 * N + 2 * К) / 4 = (2 * (-6, 4, -10) + 2 * (-7, 2, -12)) / 4 = (-12, 8, -20) + (-14, 4, -24) / 4 = (-12 - 14, 8 + 4, -20 - 24) / 4 = (-26, 12, -44) / 4 = (-6.5, 3, -11)

3) Найдем координаты вершины С:
Координаты точки С = (2 * М + 2 * N) / 4 = (2 * (3, -2, -4) + 2 * (-6, 4, -10)) / 4 = (6, -4, -8) + (-12, 8, -20) / 4 = (6 - 12, -4 + 8, -8 - 20) / 4 = (-6, 4, -28) / 4 = (-1.5, 1, -7)

Итак, координаты вершин А, В, С треугольника АВС равны соответственно (-1, 0, -8), (-6.5, 3, -11) и (-1.5, 1, -7)