Question

На множестве X = {1, 3, 5, 7, 9} задано бинарное отношение перечислением пар: P = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 5), (5, 9), (9, 5), (7, 7), (9, 9)}. Постройте граф и график этого отношения. Укажите свойства, которыми обо обладает.

Answer 1

Добрый день, ученик!
Для того чтобы построить граф и график отношения на заданном множестве X = {1, 3, 5, 7, 9}, нам необходимо сначала разобраться, что представляет собой это отношение. В данном случае, отношение задано перечислением пар чисел.

По определению, бинарное отношение на множестве X - это подмножество его декартова квадрата, то есть множество пар элементов из X. В данном случае, наше отношение P задано следующим образом:
P = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 5), (5, 9), (9, 5), (7, 7), (9, 9)}.

Окей, теперь, чтобы построить граф и график данного отношения, нам нужно нарисовать точки, соответствующие элементам из множества X, а также соединить их стрелками в соответствии с заданием отношения.

Так как наше множество X содержит числа 1, 3, 5, 7 и 9, нарисуем точки на горизонтальной линии и обозначим их:
- Точка для числа 1 обозначим как A;
- Точка для числа 3 обозначим как B;
- Точка для числа 5 обозначим как C;
- Точка для числа 7 обозначим как D;
- Точка для числа 9 обозначим как E.

Теперь, рассмотрим каждую пару из отношения P и соединим точки на графе в соответствии с этими парами.

В отношении P у нас есть пары:
(1, 1) - здесь мы соединяем точку A с самой собой;
(1, 3) - здесь мы должны соединить точку A с точкой B;
(3, 1) - здесь мы должны соединить точку B с точкой A;
(3, 3) - здесь мы должны соединить точку B с самой собой;
(5, 5) - здесь мы соединяем точку C с самой собой;
(5, 9) - здесь мы должны соединить точку C с точкой E;
(9, 5) - здесь мы должны соединить точку E с точкой C;
(7, 7) - здесь мы соединяем точку D с самой собой;
(9, 9) - здесь мы соединяем точку E с самой собой.

Таким образом, наш граф будет выглядеть следующим образом:

E
/ \
C D
\
A - B

Теперь рассмотрим график отношения P. График отношения - это множество упорядоченных пар элементов, где первый элемент пары отображает начало стрелки, а второй элемент - конечную точку стрелки. Обозначим график отношения P как G.

G = {(A, A), (A, B), (B, A),(B, B), (C, C), (C, E), (E, C), (D, D), (E, E)}

И, наконец, перейдем к свойствам данного отношения.

1. Рефлексивность: График отношения P содержит пары (A, A), (B, B), (C, C), (D, D), (E, E). Они отображают, что каждый элемент из X связан сам с собой, то есть отношение P рефлексивно.

2. Симметричность: Мы видим пары (A, B) и (B, A) в графике отношения P. Их наличие отражает, что для любой пары (x, y) из P, пара (y, x) также принадлежит отношению P. Следовательно, отношение P симметрично.

3. Транзитивность: График отношения P не содержит таких пар, которые бы образовывали тройку (x, y) и (y, z), но не содержало бы пару (x, z). Следовательно, отношение P транзитивно.

Таким образом, отношение P является рефлексивным, симметричным и транзитивным.