Question

Найдите точку максимума функции:

y= -4/3*x*√x+12x+15

Answer 1

x max =0

x min= 8

ответ: 8

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции сначала нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем найденные значения подставляются обратно в исходное выражение функции, чтобы найти значение y.

Давайте найдем производную функции y по переменной x. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

y = -4/3*x*√x + 12x + 15

Для начала, найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

Производная первого слагаемого:
dy/dx = d/dx (-4/3*x*√x)
= -4/3 * (1*√x + x*(1/2)*x^(-1/2))
= -4/3 * (√x + x^(3/2) * 1/2 * x^(-1/2))
= -4/3 * (√x + 1/2 * √x)
= -4/3 * (3/2 * √x)
= -2√x

Производная второго слагаемого:
dy/dx = d/dx (12x)
= 12

Третьего слагаемого нет, так как 15 можно считать константой, производная которой равна 0.

Теперь найденные производные складываем:

dy = -2√x + 12 dx

Приравняем dy/dx к нулю:

-2√x + 12 = 0

-2√x = -12

√x = 12/2

√x = 6

Теперь возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x = (6)^2

x = 36

Таким образом, мы получили, что x = 36 является кандидатом на точку максимума.

Чтобы доказать, что это точка максимума, мы можем найти вторую производную и оценить ее значение в найденной точке.

Воспользуемся формулой производной производной:

d^2y/dx^2 = d/dx (-2√x + 12)

Получаем:

d^2y/dx^2 = -2 * (1/2) * x^(-1/2)

d^2y/dx^2 = -x^(-1/2)

Далее подставим найденной значение x = 36 в эту формулу:

d^2y/dx^2 = -(36)^(-1/2)

Имеем:

d^2y/dx^2 = -(1/√36)

d^2y/dx^2 = -(1/6)

Так как оценка второй производной d^2y/dx^2 < 0, то это означает, что точка x = 36 является точкой максимума.

Далее мы можем подставить найденное значение x = 36 обратно в исходное выражение функции, чтобы найти значение y:

y = -4/3*36*√36 + 12*36 + 15

y = -4/3*36*6 + 12*36 + 15

y = -96 + 432 + 15

y = 351

Таким образом, точка максимума функции y равна (36, 351).