Question

Найти промежутки возрастания функции 1)f(x)=2x+5 2)f(x)=x^2-6x+3
3)f(x)=1/x-3 4)f(x)= -x^2+4x-1 5)y=x^3-3x^2

Answer 1

Выражение 1)f(x)=2x+5 для дальнейших вычислений представлено в математическом виде как 1). В этом выражении необходимо правую часть перенести со знаком минус в левую часть.

y = x^2-6*x+3

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = 2·x-6

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

2·x-6 = 0

Откуда:

x1 = 3

(-∞ ;3) (3; +∞)

f'(x) < 0 f'(x) > 0

функция убывает функция возрастает

В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3 - точка минимума.

y = 1/x-3

Найдем точки разрыва функции.

x1 = 0

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

1 ≠ 0

Для данного уравнения корней нет.

(-∞ ;0) (0; +∞)

f'(x) < 0 f'(x) < 0

функция убывает функция убывает

Пошаговое объяснение:

Исследование функции с производной

Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).

Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с первой производной

Найти производную функции f′(x).

Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.

Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

ПРИМЕР №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2.

Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x.

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x (-∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)

f′(x) + 0 - 0 +

f(x) возрастает max убывает min возрастает

f(0) = 03 – 3*02 = 0

f(2) = 23 – 3*22 = -4

ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);

точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с второй производной

Найти производную f′(x).

Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.

Найти вторую производную f″(x).

Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с первой производной.

Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

ПРИМЕР №2. Исследовать на экстремум с второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x - 3.

Решение: Находим производную: f′(x) = 2x - 2.

Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.

ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Если что я учитель по Алгебре