Question

Найдите объём тела,(предварительно сделав рисунок) получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,ограниченной линиями:
a) y=x^2+1, x=0, x=1,y=0
b)(V-корень) y=Vx, x=1, x=4,y=0
c) y=Vx, x=1, x=0, y=0
d) y=1-x^2, x=-1, x=1, y=1

Answer 1

Объем тела, полученного вращением относительно оси абсцисс дуги кривой

y=f(x) ,  a<=x<=b, вычисляется по формуле

            b

  V =  π ∫ (f(x))^2 dx 

            a

В данном случае

            1

  V1 = π ∫  (x^2+1)^2 dx =   

            0

      1                                                                          1                                 

= π  ∫(x^4 + 2 * x^2 + 1) dx = π (x^5/5 + 2*x^3/3 + x) I    =        

      0                                                                          0

= π (1/5 + 2/3 + 1)  - 0 = 28 * π/15

             4                      4                             4

  V2 =  π ∫ (Vx)^2 dx = π ∫ x dx = π * x^2/2 I    = π  * (4^2/2 -1^2/2) = 7,5 * π

             1                      1                             1