Question

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма написанных чисел равна 2786.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?

Answer 1

Чтобы ответить на данные вопросы, давайте разберемся с каждым пунктом по очереди.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?

Для этого нужно понять, как суммируются последние цифры чисел, оканчивающихся на 4 и 8.

Чтобы вычислить сумму последних цифр 30 чисел, оканчивающихся на 4 или 8, мы можем использовать остатки от деления на 10. Заметим, что любое число, оканчивающееся на 4 или 8, дает остаток 4 или 8, соответственно, при делении на 10.

Теперь просуммируем эти остатки от деления на 10:

0 + 4 + 8 + 4 + 8 + ... + 4 + 8 = 2 * (0 + 4 + 8 + ... + 4 + 8)

Поэтому сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, является четным числом.

Сумма 2786 не является четным числом. Поэтому на доске не может быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8.

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?

Предположим, что ровно четыре числа на доске оканчиваются на 8. Обозначим их сумму как S.

Теперь рассмотрим сумму всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8:

S + (4+8) + (4+8) + ... + (4+8) = S + 4*8 = S + 32

Теперь у нас есть два случая:

1) Если S = 0 (то есть нет чисел на доске, оканчивающихся на 8), то сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, равна 32.

2) Если S > 0 (то есть есть числа на доске, оканчивающиеся на 8), то сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, должна быть больше 32.

Однако, сумма всех чисел, оканчивающихся на 4 или 8, равна 2786, что больше 32.

Поэтому ровно четыре числа на доске не могут оканчиваться на 8.

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?

Допустим, количество чисел, оканчивающихся на 8, равно k.

Тогда количество чисел, оканчивающихся на 4, будет равно 30 - k.

Сумма всех чисел, оканчивающихся на 8, будет равна 8k, а сумма всех чисел, оканчивающихся на 4, будет равна 4(30 - k).

Теперь составим уравнение:

8k + 4(30 - k) = 2786

Раскроем скобки и упростим уравнение:

8k + 120 - 4k = 2786

4k + 120 = 2786

4k = 2666

k = 666.5

Так как k должно быть натуральным числом, наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть равно 667.