y = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ + x^2 -4x +10
Пошаговое объяснение:
y'' + 2y' + y = x^2 + 4
однородное уравнение имеет вид
y'' + 2y' + y = 0
составим соответствующее характеристическое уравнение
k^2 + 2k + 1 = 0
(k+1)^2 = 0
k+1 =0 > k1,2 = -1
имеем два действительных кратных корня
Общее решение однородного уравнения
yo = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ
Частное решение ищем в виде
yч = Ax^3 +Bx^2 +Cx +D
находим производные
yч' = (Ax^3 +Bx^2 +Cx +D)' =3Ax^2 +2Bx +C
yч" = (3Ax^2 +2Bx +C)' = 6Ax +2B
подставляем в исходное уравнение
yч'' + 2yч' + yч = 6Ax +2B + 2 (3Ax^2 +2Bx +C) + Ax^3 +Bx^2 +Cx +D =
= Ax^3 +(6A+B)x^2 + (6A+4B+C)x + (2B+2C+D) = x^2 +4
Решаем систему из соответствующих коэффициентов
x^3: A = 0
x^2: 6A+B = 1; B = 1-6A = 1-6*0 = 1
x^1: 6A+4B+C = 0; C = -6A -4B = -6*0 -4*1 = -4
x^0: 2B+2C+D = 4; D = -2B -2C = 4 -2*1 -2*(-4) =10
Частное решение имеет вид
yч = 0*x^3 + 1*x^2 -4x +10 = x^2 -4x +10
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y = yo + yч = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ + x^2 -4x +10
Угол BAE=60°, так как это параллелограмм, то и угол BCD тоже будет равен 60°. Значит остальные углы ABC=CDA=(360°-2*60°)/2 = (360°-120°)/2 = 240°/2 = 120°
Теперь обозначим (для простоты записи) стороны параллелограмма:
x = BC = AD
y = AB = CD
Рассмотрим треугольник ABE. Запишем для стороны BE выражение по теореме косинусов (я сразу подставлю числовые значения для экономии места):
(√3)² = x² + y² - 2xycos60°
3 = x² + y² - 2xy*1/2 = x² + y² - xy
Теперь то же самое для треугольника CDE:
(√7)² = x² + y² - 2xycos120°
7 = x² + y² - 2xy*(-1/2) = x² + y² + xy
А теперь вычтем из этого выражения предыдущее (которое для треугольника ABE):
7 - 3 = x² + y² + xy - (x² + y² - xy)
4 = 2xy
xy=2
x=2/y
Мы получили выражение, связывающее х и у и позволяющее заменить одно на другое. Подставляем например в первое из выражений:
3 = x² + y² - xy = (2/у)² + у² - (2/у)у = (2/у)² + у² - 2
Переносим всё вправо:
y² - 5 + 4/(y²) = 0
Домножаем на y² (ведь сторона явно не нулевая, можем это спокойно делать):
y^4 - 5у² + 4 = 0
Биквадратное уравнение получилось. Делаем чисто техническую замену t = у²:
t² - 5t + 4 = 0
Решаем:
D = 25 - 4*4 = 9 = 3²
t1,2 = (5+-3) / 2 = {4;1}
Значит y может принимать значения или √4 = 2, или √1 = 1.
Отсюда х = 2/у = {1;2}, т.е. возможные пары x,y это (1;2) или (2;1).