1) найдем сторону равностороннего треугольника из условий: а) одна сторона прямоугольника равна 8 см б) площадь прямоугольника равна 96 см² Тогда, вторая сторона прямоугольника равна 96/8=12 см Таким образом получили 2 варианта: сторона треугольника равна 12 см, или сторона треугольника равна 8 см( в условии сказана, что 8 см - одна сторона прямоугольника, возможно и та, на которой он построен, то есть сторона треугольника) . 2) рассмотрим получившуюся фигуру: а) сторона треугольника 8, прямоугольник и треугольник имееют только общую сторону, тогда периметр= 8+8+12+8+12=48 см ⇒площадь=(48/4)²=12²=144 см² б) сторона треугольника 8, прямоугольник и треугольник лежат по одну сторону от общей стороны, тогда высота треугольника равна (√3)/2*8≈6,93<12 то есть фигура прямоугольник: периметр=8+12+8+12=40 площадь = (40/4)²=10²=100 см² в)сторона треугольника 12, прямоугольник и треугольник лежат по разные стороны от общей стороны периметр=12+12+8+12+8=52 площадь=(52/4)²=13²=169 см² г) сторона треугольника 12, прямоугольник и треугольник лежат по одну сторону, высота треугольника=(√3)/2*12=6√3≈10,4>8 разобъем фигуру на 2: прямоугольник 8 на 12, и треугольник (равносторонний, кстати, например по тому что углы его равны углам данного) и высотой 6√3-8 см тогда сторона треугольника равна: высота*2/√3 ((√3)/2*12-8)*2/√3=(6√3-8)*2/√3=12-16/√3 см Таким образом периметр фигуры будет: 8+12+8+(12-(12-16/√3))+2*(12-16/√3) первые 3 слагаемых - стороны прямоугольника, 4 - длина стороны прямоугольника, без стороны маленького треугольника, 5 - 2 стороны маленького треугольника итак, периметр= 28+12-12+16√3+24-32√3=52-16/√3 площадь квадрата= ((52-16/√3)/4)²=(13-4/√3)²=169-104/(√3)+16/3=523/3-104/√3=1/3(523-104√3) см²
Воспользуемся тем, что в любом треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой (это известный факт и легко доказывается, поэтому здесь не буду) Итак, пусть один из этих 4-х углов равен х. Тогда один из углов тр-ка равен 90-х, угол между биссектрисой и основанием тоже равен 90-х. Тогда угол между медианой и основанием равен 90-2х, и третий угол треугольника равен 90-3х. Если обозначить медиану треугольника через m, а половину основания через а, то по теореме синусов для треугольников образованных медианой получим: m/sin(90-x)=a/sin(3x) и m/sin(90-3x)=a/sin(x). Отсюда m/a=cos(x)/sin(3x)=cos(3x)/sin(x) т.е.sin(2x)=sin(6x), откуда x=Pi/8. Т.е. углы треугольника Pi/2, 3Pi/8 и Pi/8. (При решении уравнения образуются еще углы, но они все не острые и нам не подходят).
а) одна сторона прямоугольника равна 8 см
б) площадь прямоугольника равна 96 см²
Тогда, вторая сторона прямоугольника равна
96/8=12 см
Таким образом получили 2 варианта: сторона треугольника равна 12 см, или сторона треугольника равна 8 см( в условии сказана, что 8 см - одна сторона прямоугольника, возможно и та, на которой он построен, то есть сторона треугольника) .
2) рассмотрим получившуюся фигуру:
а) сторона треугольника 8, прямоугольник и треугольник имееют только общую сторону, тогда
периметр= 8+8+12+8+12=48 см ⇒площадь=(48/4)²=12²=144 см²
б) сторона треугольника 8, прямоугольник и треугольник лежат по одну сторону от общей стороны, тогда
высота треугольника равна (√3)/2*8≈6,93<12
то есть фигура прямоугольник:
периметр=8+12+8+12=40 площадь = (40/4)²=10²=100 см²
в)сторона треугольника 12, прямоугольник и треугольник лежат по разные стороны от общей стороны
периметр=12+12+8+12+8=52 площадь=(52/4)²=13²=169 см²
г) сторона треугольника 12, прямоугольник и треугольник лежат по одну сторону,
высота треугольника=(√3)/2*12=6√3≈10,4>8
разобъем фигуру на 2: прямоугольник 8 на 12, и треугольник (равносторонний, кстати, например по тому что углы его равны углам данного) и высотой 6√3-8 см
тогда сторона треугольника равна: высота*2/√3
((√3)/2*12-8)*2/√3=(6√3-8)*2/√3=12-16/√3 см
Таким образом периметр фигуры будет:
8+12+8+(12-(12-16/√3))+2*(12-16/√3)
первые 3 слагаемых - стороны прямоугольника, 4 - длина стороны прямоугольника, без стороны маленького треугольника, 5 - 2 стороны маленького треугольника
итак, периметр= 28+12-12+16√3+24-32√3=52-16/√3
площадь квадрата= ((52-16/√3)/4)²=(13-4/√3)²=169-104/(√3)+16/3=523/3-104/√3=1/3(523-104√3) см²