Для того чтобы выяснить, является ли число λ=3 или λ=8 собственным числом матрицы а, мы должны найти такой вектор x, который удовлетворяет условию:
a * x = λ * x
где а - исходная матрица, λ - собственное число, x - собственный вектор.
Для выполнения данной задачи нужно выполнить следующие шаги:
1. Найдите матрицу a-λ * E, где E - единичная матрица размера 3x3, а λ равно 3 или 8 (выполнение этого шага позволяет перейти от операции умножения на матрицу a к операции определителя).
a-λ * E = (3-λ) -8 8
-8 (3-λ) -7
8 11 (3-λ)
Подставьте значение λ в матрица a-λ * E для каждого из λ (λ=3, λ=8):
a-3 * E = 0 -8 8
-8 -13 -7
8 11 5
a-8 * E = -5 -8 8
-8 -18 -7
8 11 0
2. Вычислите определители матриц a-λ * E полученных на предыдущем шаге.
4. Решение системы уравнений (a-λ * E) * x = 0 для каждого из λ дает нам два вектора, которые являются собственными векторами матрицы a, отвечающими собственным числам λ=3 и λ=8.
Чтобы определить, при каких значениях параметра a уравнение имеет решение, мы должны решить уравнение и найти диапазон значений a, при которых это возможно.
Дано уравнение: x - sqrt(x-1) + 4 = a
Давайте попробуем решить его пошагово:
1. Вычитаем 4 из обеих сторон уравнения:
x - sqrt(x-1) = a - 4
2. Теперь избавимся от корня, изолируя его. Для этого возводим обе стороны уравнения в квадрат:
(x - sqrt(x-1))^2 = (a - 4)^2
4. Упрощаем уравнение, учитывая, что x^2 - 1 = (x-1)(x+1):
x^2 - 2x*sqrt(x-1) + x - 1 = (a - 4)^2
5. Объединяем все термины с корнем в одну группу и оставляем остальные термины отдельно:
x^2 + x - 1 - 2x*sqrt(x-1) = (a - 4)^2
6. Теперь проведем несколько преобразований:
- Перенесем - 2x*sqrt(x-1) из левой части на правую сторону уравнения;
- Просимтотрим квадрат (a - 4)^2 в правой части уравнения.
Получим: x^2 + x - 1 = (a - 4)^2 + 2x*sqrt(x-1)
7. Приравниваем дискриминант подкоренного выражения (2x*sqrt(x-1)) в левой и правой части уравнения:
(a - 4)^2 + 2x*sqrt(x-1) = 0
8. Теперь мы имеем уравнение вида a^2 + 2*a*b + b^2 = 0, где a = (a - 4) и b = sqrt(x-1).
Очевидно, что данное уравнение имеет решение, только если a = (a - 4) = 0 и b = sqrt(x-1) = 0.
9. Решим уравнение a - 4 = 0:
a = 4
10. Подставим найденное значение a в уравнение b = sqrt(x-1) = 0 и решим его:
sqrt(x-1) = 0
x - 1 = 0
x = 1
Таким образом, уравнение имеет решение x = 1 при значении параметра a = 4.
Но нам нужно определить диапазон значений a, при которых уравнение имеет решение. Для этого нам нужно проверить, что уравнение имеет другие решения, кроме x=1.
Подставим некоторые значения a, чтобы проверить, есть ли дополнительные решения:
- При a < 4: уравнение будет иметь отрицательный корень под корнем, что невозможно, поскольку квадратный корень невозможно извлечь из отрицательного числа.
- При a = 4: мы уже нашли решение x = 1, значит уравнение имеет хотя бы одно решение при a=4.
- При a > 4: уравнение будет иметь положительные корни под корнем, что возможно.
Таким образом, ответ на вопрос будет: уравнение имеет решение для a ∈ [4, +∞).
Пошаговое объяснение: