Question

Написать уравнения касательной и нормали к кривой y=(x+1) ∛(3-x) в точках А (-1,0), В (2,3), С (3,0)

Answer 1

Добрый день! Рад, что вы обратились ко мне за помощью.

Чтобы найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в заданных точках, мы будем использовать так называемый метод дифференциалов.

1. Начнем с нахождения производной функции y по x. В данном случае у нас имеется функция y=(x+1) ∛(3-x), поэтому найдем ее производную.
Для этого сначала возьмем производную ∛(3-x) по x, а затем умножим на производную (x+1). Имеем:
y' = (∛(3-x))' * (x+1) + ∛(3-x) * (x+1)'.

2. Найдем производные каждого из слагаемых:
a) (∛(3-x))'. Для этого вспомним, что производная функции ∛u равна (1/3) * u^(-2/3) * u'. В нашем случае u=3-x, поэтому имеем:
(∛(3-x))' = (1/3) * (3-x)^(-2/3) * (3-x)' = (1/3) * (3-x)^(-2/3) * (-1).
Таким образом, (∛(3-x))'=-1/(3∛(3-x)^2/3).

b) (x+1)'. Производная суммы двух слагаемых равна сумме их производных. Имеем:
(x+1)' = 1 + 0 = 1.

3. Подставим полученные значения производных в исходный дифференциал y':
y' = (-1/(3∛(3-x)^2/3)) * (x+1) + ∛(3-x) * 1
= -1/(3∛(3-x)^2/3) * (x+1) + ∛(3-x).

4. Теперь найдем значения производной y' в каждой из заданных точек А(-1,0), В(2,3), С(3,0), подставив соответствующие значения x в уравнение выше:
a) Для точки А(-1,0):
y' = -1/(3∛(3-(-1))^2/3) * (-1+1) + ∛(3-(-1))
= -1/(3∛4/3) * 0 + ∛4
= ∛4.

b) Для точки В(2,3):
y' = -1/(3∛(3-2)^2/3) * (2+1) + ∛(3-2)
= -1/(3∛1) * 3 + 1
= -1/3 * 3 + 1
= -1 + 1
= 0.

c) Для точки С(3,0):
y' = -1/(3∛(3-3)^2/3) * (3+1) + ∛(3-3)
= -1/(3∛0) * 4 + ∛0
= -∞ * 4 + 0
= -∞ + 0
= -∞.

5. Теперь мы имеем склоны касательных к кривой в каждой из заданных точек: в точке А склон равен ∛4, в точке В склон равен 0, а в точке С склон равен -∞.

6. Найдем уравнения касательных и нормали для каждой из точек, используя найденные склоны:

a) Для точки А(-1,0):
- Уравнение касательной: y = ∛4 * (x + 1).
- Уравнение нормали: y = (-1/∛4) * (x + 1) + 0.

b) Для точки В(2,3):
- Уравнение касательной: y = 0 * (x - 2) + 3 = 3.
- Уравнение нормали: y = (-1/0) * (x - 2) + 3 = не определено.

c) Для точки С(3,0):
- Уравнение касательной: y = -∞ * (x - 3) + 0 = не определено.
- Уравнение нормали: y = (-1/(-∞)) * (x - 3) + 0 = 0.

Вот и все! Теперь мы нашли уравнения касательной и нормали к кривой y=(x+1) ∛(3-x) в заданных точках А(-1,0), В(2,3), С(3,0). Если у вас остались еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.