Преобразуем x^2 - 6x + y^2 - 6y + 14 = 0. x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 4 (x-3)^2 + (y-3)^2 = 2^2 - окружность радиуса 2 с центром в (3;3) Преобразуем x^2 - 2a(x+y) + y^2 + a^2 = 0. x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2 (x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2 - окружность радиуса a с центром в (a;a). Видим, что центр второй окружности располагается на прямой y=x, там же, где и центр первой окружности. Следовательно, точка касания окружностей будет лежать именно на прямой y=x. Найдем эти точки касания: x=y, (x-3)^2 + (y-3)^2 = 2^2 Отсюда 2*(x-3)^2 = 2^2 (x-3)^2=2 x=y=3+-√2. Тогда для второй окружности должно выполняться условие: Расстояние от центра второй окружности (a;a) до точки касания равно радиусу второй окружности. 1) Точка касания (3-√2;3-√2) Длина вектора (a - (3-√2); a - (3-√2)) равна a. Это значит, что (a - (3-√2))^2+(a - (3-√2))^2=a^2, 2(a-(3-√2))^2=a^2, (a√2-(3√2-2))^2-a^2=0, (a(√2-1)-(3√2-2))(a(√2+1)-(3√2-2))=0 Отсюда а) a(√2-1)-(3√2-2)=0 a=(3√2-2)/(√2-1)=((3√2-2)(√2+1))/((√2-1)*(√2+1))=4+√2 б) a(√2+1)-(3√2-2)=0 a=(3√2-2)/(√2+1)=((3√2-2)(√2-1))/((√2+1)(√2-1))=8-5√2 2) Точка касания (3+√2;3+√2) Длина вектора (a - (3+√2); a - (3+√2)) равна a. Это значит, что (a - (3+√2))^2+(a - (3+√2))^2=a^2, 2((a - (3+√2))^2)-a^2=0, (a√2-(3√2+2))^2-a^2=0, (a(√2-1)-(3√2+2))(a(√2+1)-(3√2+2))=0. Отсюда а) a(√2-1)-(3√2+2)=0 a=(3√2+2)/(√2-1)=((3√2+2)(√2+1))/((√2-1)(√2+1))=8+5√2 б) a(√2+1)-(3√2+2)=0 a=(3√2+2)/(√2+1)=((3√2+2)(√2-1))/((√2-1)(√2+1))=4-√2 ответ: 4-√2, 4+√2, 8-5√2, 8+5√2.
2) y(-x) = (-x)²+2 = x²+2 = y(x) - функция чётная.
3) пересечение с осями
С OY, x=0:
y = 2
(0; 2)
С OX, y=0:
x²+2 = 0
x² = -2
Уравнение не имеет решения, значит с OX пересечения нет.
4) крит. точки, интервалы возрастания и убывания:
y' = 2x
2x = 0
x = 0
При x∈(-∞; 0) y'(x) < 0 - функция убывает
При x∈(0; +∞) y'(x) > 0 - функция возрастает
(0; 2) - точка минимума.
5) точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости:
y'' = 2>0 - функция вогнута на всей области определения
6) график - см. рисунок