Question

Чему равен коэффициент при x^2y^3z^2 в выражении (x+y+z)^7 ?​

Answer 1

Для решения этой задачи, нам нужно применить формулу раскрытия куба суммы:

(x+y+z)^7 = C(7,0)x^7y^0z^0 + C(7,1)x^6y^1z^0 + C(7,2)x^5y^2z^0 + C(7,3)x^4y^3z^0 + C(7,4)x^3y^4z^0
+ C(7,5)x^2y^5z^0 + C(7,6)x^1y^6z^0 + C(7,7)x^0y^7z^0
+ C(7,0)x^6y^0z^1 + C(7,1)x^5y^1z^1 + C(7,2)x^4y^2z^1 + C(7,3)x^3y^3z^1 + C(7,4)x^2y^4z^1
+ C(7,5)x^1y^5z^1 + C(7,6)x^0y^6z^1
+ C(7,0)x^5y^0z^2 + C(7,1)x^4y^1z^2 + C(7,2)x^3y^2z^2 + C(7,3)x^2y^3z^2 + C(7,4)x^1y^4z^2
+ C(7,5)x^0y^5z^2
+ C(7,0)x^4y^0z^3 + C(7,1)x^3y^1z^3 + C(7,2)x^2y^2z^3 + C(7,3)x^1y^3z^3 + C(7,4)x^0y^4z^3
+ C(7,0)x^3y^0z^4 + C(7,1)x^2y^1z^4 + C(7,2)x^1y^2z^4 + C(7,3)x^0y^3z^4
+ C(7,0)x^2y^0z^5 + C(7,1)x^1y^1z^5 + C(7,2)x^0y^2z^5
+ C(7,0)x^1y^0z^6 + C(7,1)x^0y^1z^6
+ C(7,0)x^0y^0z^7

Здесь C(n,k) обозначает число сочетаний из n по k и равно n!/(k!(n-k)!). Знак "^" означает возведение в степень.

Теперь, чтобы найти коэффициент перед x^2y^3z^2, нам нужно найти все члены, в которых есть x^2y^3z^2.

Из формулы выше, мы видим, что есть только одно такое слагаемое: C(7,2)x^3y^3z^2.

Подставим значения для C(7,2): C(7,2) = 7!/(2!(7-2)!) = 7!/2!5! = (7*6)/(2*1) = 21.

Можем раскрыть x^3y^3z^2 в выражение 21x^3y^3z^2:

21x^3y^3z^2.

Таким образом, коэффициент при x^2y^3z^2 в выражении (x+y+z)^7 равен 21.