Question

Векторы p→ и q→ взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 4 см. Определи скалярное произведение векторов a→ и b→, которые выражены следующим образом:

a→=2⋅p→−4⋅q→, b→=3⋅p→+2⋅q→.

a→⋅b→=
.

Answer 1

Для определения скалярного произведения векторов a→ и b→, мы можем использовать следующую формулу:

a→⋅b→ = |a→| |b→| cosθ

где |a→| и |b→| - длины векторов a→ и b→, а cosθ - угол между векторами a→ и b→.

Определим длины векторов a→ и b→, используя данную информацию:

Длина вектора a→:
|a→| = √[(2⋅p→ - 4⋅q→) * (2⋅p→ - 4⋅q→)]
= √[(2⋅p→) * (2⋅p→) + (-4⋅q→) * (-4⋅q→)]
= √[4 * (p→ * p→) + 16 * (q→ * q→)]
= √[4 * (4 * 4) + 16 * (4 * 4)] (так как длина векторов p→ и q→ равна 4 см)
= √[64 + 256]
= √320
= 8√5 см

Длина вектора b→:
|b→| = √[(3⋅p→ + 2⋅q→) * (3⋅p→ + 2⋅q→)]
= √[(3⋅p→) * (3⋅p→) + (2⋅q→) * (2⋅q→)]
= √[9 * (p→ * p→) + 4 * (q→ * q→)]
= √[9 * (4 * 4) + 4 * (4 * 4)] (так как длина векторов p→ и q→ равна 4 см)
= √[144 + 64]
= √208
= 4√13 см

Теперь определим cosθ с помощью формулы:

cosθ = (a→⋅b→) / (|a→| |b→|)
= (2⋅p→ - 4⋅q→)⋅(3⋅p→ + 2⋅q→) / (8√5 см * 4√13 см)
= (2⋅p→ * 3⋅p→) + (2⋅p→ * 2⋅q→) - (4⋅q→ * 3⋅p→) - (4⋅q→ * 2⋅q→) / (8√5 см * 4√13 см)
= (6 * (p→ * p→)) + (4 * (p→ * q→)) - (12 * (q→ * p→)) - (8 * (q→ * q→)) / (8√5 см * 4√13 см)
= (6 * (4 * 4)) + (4 * 0) - (12 * 0) - (8 * (4 * 4)) / (8√5 см * 4√13 см) (так как векторы p→ и q→ взаимно перпендикулярны)
= (6 * 16) - (8 * 16) / (8√5 см * 4√13 см)
= (96 - 128) / (8√5 см * 4√13 см)
= -32 / (32√5 см * √13 см)
= -1 / (√5 см * √13 см)
= -1 / (√(5 * 13) см)
= -1 / (√65 см)
= -√65 / 65 см

Таким образом, скалярное произведение векторов a→ и b→ равно -√65 / 65 см.