Question

Дана точка A(1, 2, 3). Составить уравнения плоскостей,
проходящих через точку A и удовлетворяющих одному
из следующих условий:
а) параллельных одной из координатных плоскостей;
б) проходящих через одну из осей координат;

Answer 1

Хорошо, давайте рассмотрим вопрос по порядку.

а) Для начала рассмотрим плоскости, которые параллельны одной из координатных плоскостей. Под координатной плоскостью понимается плоскость, параллельная одной из осей координат.

В данном случае у нас дана точка A(1, 2, 3). Пусть мы хотим найти плоскость, параллельную координатной плоскости XY (то есть плоскость, у которой основания лежат на осях X и Y). Для этого нам необходимо, чтобы координата Z во всех точках плоскости была одинакова.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку A и параллельной координатной плоскости XY, будет иметь вид Z = 3. Обоснуем это.

Рассмотрим произвольную точку на плоскости, которая проходит через точку A.

Пусть эта точка имеет координаты (x, y, z). Поскольку плоскость параллельна координатной плоскости XY, то координаты Z во всех точках плоскости будут одинаковыми. Таким образом, координата Z в любой точке плоскости будет равна z.

Теперь мы знаем, что точка A(1, 2, 3) лежит на такой плоскости. Подставим ее координаты в уравнение плоскости Z = 3:

3 = 3

Уравнение верно, значит плоскость проходит через точку A и параллельна координатной плоскости XY.

б) Теперь рассмотрим плоскости, проходящие через одну из осей координат. Без ограничения общности, рассмотрим плоскости, проходящие через ось X.

Уравнение плоскости задается в общем виде Ax + By + Cz + D = 0. Мы знаем, что плоскость проходит через точку A(1, 2, 3). Подставим ее координаты в уравнение плоскости:

A(1) + B(2) + C(3) + D = 0

Уравнение плоскости будет удовлетворять условию, если мы найдем такие значения A, B, C и D, которые удовлетворяют данному уравнению.

Стоит отметить, что если плоскость проходит через одну из осей координат, то соответствующий коэффициент в уравнении плоскости будет равен 0.

Рассмотрим два случая:

1) Плоскость, проходящая через ось X:
Уравнение имеет вид A(1) + B(2) + C(3) + D = 0, где B ≥ 0, C ≥ 0 и D ≥ 0.

Например, если мы выберем A = 0, B = 1, C = 0 и D = -2, то получим следующее уравнение плоскости:

1(0) + 1(2) + 0(3) + (-2) = 0
2 - 2 = 0

Это уравнение удовлетворяет условию и проходит через точку A(1, 2, 3) и ось X.

2) Плоскость, проходящая через ось Y или Z:
Аналогично, уравнение имеет вид A(1) + B(2) + C(3) + D = 0, где A ≥ 0, C ≥ 0 и D ≥ 0.

Определенный пример можно найти, если мы выберем A = 0, B = 2, C = 0 и D = -3:

1(0) + 2(2) + 1(3) + (-3) = 0
4 + 3 - 3 = 0

Это уравнение удовлетворяет условию и проходит через точку A(1, 2, 3) и ось Y.

Таким образом, мы получили уравнения плоскостей, проходящих через точку A(1, 2, 3), и удовлетворяющих условиям, описанным в вопросе.