Найдите косинус угла между векторами m=5a + b и n=2a - b, если вектор a перпендикулярен вектору b, модуль вектора a = модулю векторв b = 1. (|a|=|b|=1) .
У нас есть два вектора: m=5a + b и n=2a - b. Мы хотим найти косинус угла между ними. Для этого мы воспользуемся формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|),
где (m · n) обозначает скалярное произведение векторов m и n, а |m| и |n| обозначают модули этих векторов.
Первым шагом нам нужно вычислить скалярное произведение векторов m и n. Обозначим вектор a=(a₁, a₂, a₃) и вектор b=(b₁, b₂, b₃).
Тогда вектор m будет равен 5a + b = (5a₁ + b₁, 5a₂ + b₂, 5a₃ + b₃),
а вектор n будет равен 2a - b = (2a₁ - b₁, 2a₂ - b₂, 2a₃ - b₃).
Вычислим скалярное произведение между векторами m и n:
В итоге, чтобы найти косинус угла между векторами m и n, необходимо выполнить все указанные алгебраические операции для каждого из векторов a и b и затем подставить полученные значения в выражение для cos(θ).
У нас есть два вектора: m=5a + b и n=2a - b. Мы хотим найти косинус угла между ними. Для этого мы воспользуемся формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|),
где (m · n) обозначает скалярное произведение векторов m и n, а |m| и |n| обозначают модули этих векторов.
Первым шагом нам нужно вычислить скалярное произведение векторов m и n. Обозначим вектор a=(a₁, a₂, a₃) и вектор b=(b₁, b₂, b₃).
Тогда вектор m будет равен 5a + b = (5a₁ + b₁, 5a₂ + b₂, 5a₃ + b₃),
а вектор n будет равен 2a - b = (2a₁ - b₁, 2a₂ - b₂, 2a₃ - b₃).
Вычислим скалярное произведение между векторами m и n:
m · n = (5a₁ + b₁)(2a₁ - b₁) + (5a₂ + b₂)(2a₂ - b₂) + (5a₃ + b₃)(2a₃ - b₃).
Для удобства давайте раскроем скобки и упростим выражение:
m · n = 10a₁² - 5a₁b₁ + 5a₁b₁ - b₁² + 10a₂² - 5a₂b₂ + 5a₂b₂ - b₂² + 10a₃² - 5a₃b₃ + 5a₃b₃ - b₃².
Теперь у нас везде есть скалярное произведение двух векторов:
m · n = 10a₁² + 10a₂² + 10a₃² - b₁² - b₂² - b₃².
Следующим шагом нужно вычислить модули векторов m и n:
|m| = √(m₁² + m₂² + m₃²) = √((5a₁ + b₁)² + (5a₂ + b₂)² + (5a₃ + b₃)²),
|n| = √(n₁² + n₂² + n₃²) = √((2a₁ - b₁)² + (2a₂ - b₂)² + (2a₃ - b₃)²).
Для удобства вычислений давайте сократим все квадраты, раскроем скобки и упростим выражения для модулей:
|m| = √(25a₁² + 10a₁b₁ + b₁² + 25a₂² + 10a₂b₂ + b₂² + 25a₃² + 10a₃b₃ + b₃²),
|n| = √(4a₁² - 4a₁b₁ + b₁² + 4a₂² - 4a₂b₂ + b₂² + 4a₃² - 4a₃b₃ + b₃²).
Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами m и n, мы подставляем найденные значения в формулу:
cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|) = (10a₁² + 10a₂² + 10a₃² - b₁² - b₂² - b₃²) / (√(25a₁² + 10a₁b₁ + b₁² + 25a₂² + 10a₂b₂ + b₂² + 25a₃² + 10a₃b₃ + b₃²) * √(4a₁² - 4a₁b₁ + b₁² + 4a₂² - 4a₂b₂ + b₂² + 4a₃² - 4a₃b₃ + b₃²)).
Это выражение можно еще немного упростить, выделив общий множитель в числителе и знаменателе:
cos(θ) = ((10a₁² + 10a₂² + 10a₃² - b₁² - b₂² - b₃²) / (5a₁² + 2a₁b₁ + 5a₂² + 2a₂b₂ + 5a₃² + 2a₃b₃ + b₁² + b₂² + b₃²)) * (√((5a₁² + 2a₁b₁ + b₁² + 1⁄5(b₁² + b₂² + b₃²))(4a₁² - 4a₁b₁ + b₁² + 4a₂² - 4a₂b₂ + b₂² + 4a₃² - 4a₃b₃ + b₃²))/(√((4a₁² - 4a₁b₁ + b₁² + 4a₂² - 4a₂b₂ + b₂² + 4a₃² - 4a₃b₃ + b₃²)(5a₁² + 2a₁b₁ + 5a₂² + 2a₂b₂ + 5a₃² + 2a₃b₃ + b₁² + b₂² + b₃²)))).
В итоге, чтобы найти косинус угла между векторами m и n, необходимо выполнить все указанные алгебраические операции для каждого из векторов a и b и затем подставить полученные значения в выражение для cos(θ).