Докажем утверждение индукцией по числу n учеников в классе. Для n = 3 утверждение очевидно. Предположим, что оно верно при n ≤ N. Пусть n = N + 1. Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не менее двух. Выделим молчуна A и его друзей — болтунов B1, … ,Bk. Для оставшихся n – 1 – k учеников утверждение верно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун дружит с нечётным числом молчунов и в M входит не менее учеников. Предположим, что болтуны B1, … ,Bm дружат с нечётным числом молчунов из M, а Bm + 1, … ,Bk — с чётным числом. Тогда, если , то добавим к группе M болтунов B1, … ,Bm, а если , то добавим к группе M болтунов Bm + 1, … ,Bk и молчуна A. В обоих случаях мы получим группу учеников, удовлетворяющую условию задачи.
Стами Стародума автор комедии провозглашает принципы разумного государственного устройства, нравственного воспитания и просвещения. Дворянскую праздность Стародум считает недостойной дворянина, а воспитание его полагает делом государственным. Оно должно включать как воспитание ума, так и воспитание сердца. Причем, воспитание сердца стоит на первом месте. Ведь без души "просвещеннейшая умница- жалкая тварь". Воспитание, считает он, должно опираться на силу положительного примера и "своим критерием положить благо отечества". Афоризмы Стародума о его жизненных принципах В большом свете водятся премелкие души. Честнее быть без вины обойдёну, нежели без заслуг Без знатных дел знатное состояние ничто. Наличные деньги - не наличные достоинства. Начинаются чины — перестает искренность. Невежда без души — зверь. Видал я молодцов в золотых кафтанах, да с свинцовой головою.
Для n = 3 утверждение очевидно.
Предположим, что оно верно при n ≤ N. Пусть n = N + 1.
Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не менее двух.
Выделим молчуна A и его друзей — болтунов B1, … ,Bk.
Для оставшихся n – 1 – k учеников утверждение верно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун дружит с нечётным числом молчунов и в M входит не менее учеников.
Предположим, что болтуны B1, … ,Bm дружат с нечётным числом молчунов из M, а Bm + 1, … ,Bk — с чётным числом.
Тогда, если , то добавим к группе M болтунов B1, … ,Bm,
а если , то добавим к группе M болтунов Bm + 1, … ,Bk и молчуна A.
В обоих случаях мы получим группу учеников, удовлетворяющую условию задачи.