Проверим это правило посчитав определитель второй степени:
![[\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array}]\right] = 1*5 - 2*4 = -3](/tpl/images/0150/1870/c0c97.png)
Поменяем столбцы местами:
![[\begin{array}{cc}2&1\\5&4\end{array}]\right] = 2*4 - 1*5 = 3](/tpl/images/0150/1870/aa59c.png)
Если брать некоторые абстрактные значения:
![[\begin{array}{cc}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{array}]\right]= a_1*a_4 - a_2*a_3](/tpl/images/0150/1870/72ec5.png)
Пусть 
Поменяем столбцы местами:
![[\begin{array}{cc}a_2&a_1\\a_4&a_3\end{array}]\right] = a_2*a_3 - a_1*a_4 0](/tpl/images/0150/1870/45e70.png)
Далее можно было бы рассмотреть определитель n*n, но мне кажется, что и эта демонастрация будет весомым подкреплением моего заверения: что при перестановке столбцов знак определителя меняется на противоположный.
Во-первых, очень часто в системе уравнений вообще невозможно посчитать определитель, так как матрица отвечающая системе оказывается не квадратной.
А во-вторых, разумеется, определитель системы поменяет знак, если системе будет отвечать квадратная матрица и вы переставите столбцы.
Главное не путать матрицу элементов и определитель этой матрицы, это разные сущности!
Когда вы переставляете столбцы - вы меняете определитель, а система остается эквивалентной (когда перестановка осуществляется в пределах левой части, или в пределах правой. При переносе столбцов из левой в праву, или из правой в левую, надо домножать столбец на -1).
Общим знаменателем является 12
3*3/12 и 1*2/12
9/12 и 2/12
5/6 и 7/8
Общим знаменателем является 24
5*4/24 и 7*3/24
20/24 и 21/24
9/10 и 1/4
Общим знаменателем является 20
9*2/20 и 1*5/20
18/20 и 5/20
2/15 и 1/6
Общим знаменателем является 30
2*2/30 и 1*5/30
4/30 и 5/30
11/12 и 3/8
Общим знаменателем является 24
11*2/24 и 3*3/24
22/24 и 9/24
1/16 и 5/12
Общим знаменателем является 48
1*3/48 и 5*4/48
3/48 и 20/48
13/18 и 1/10
Общим знаменателем является 90
13*5/90 и 1*9/90
65/90 и 9/90
5/24 и 15/16
Общим знаменателем является 48
5*2/48 и 15*3 /48
10/48 и 45/48