Question

Даны точки А (-2; 3), В (1; -1), С (2; 4), Найдите:
1) координаты векторов АВ и СА;
2) модули векторов АВ и СА;
3) координаты вектора MN = ЗАВ - 2СА;
4) скалярное произведение векторов АВ и СА;
5) косинус угла между векторами АВ и СА.

Answer 1

1) Координаты вектора AB можно найти, вычислив разность координат точек B и A:
AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (1 - (-2), -1 - 3) = (3, -4)

Координаты вектора AC можно найти, вычислив разность координат точек C и A:
AC = (x2 - x1, y2 - y1) = (2 - (-2), 4 - 3) = (4, 1)

2) Модули векторов AB и AC можно вычислить по формуле модуля вектора, которая задается как корень из суммы квадратов его координат:
|AB| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5
|AC| = sqrt(4^2 + 1^2) = sqrt(16 + 1) = sqrt(17)

3) Координаты вектора MN можно найти, вычислив разность векторов ZAB и 2SAC:
MN = ZAB - 2SAC
= (x2 - x1, y2 - y1) - 2(x3 - x1, y3 - y1)
= ((1 - (-2), -1 - 3) - 2(2 - (-2), 4 - 3)
= (3, -4) - 2(4, 1)
= (3, -4) - (8, 2)
= (3 - 8, -4 - 2)
= (-5, -6)

4) Скалярное произведение векторов AB и AC можно вычислить, умножив соответствующие координаты и сложив результаты:
AB · AC = (3 * 4) + (-4 * 1)
= 12 + (-4)
= 8

5) Косинус угла между векторами AB и AC можно найти, используя формулу косинуса угла между векторами, которая задается как отношение скалярного произведения векторов к произведению их модулей:
cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
= 8 / (5 * sqrt(17))
= 8 / (5 * sqrt(17))

Ответы:
1) Вектор AB: (3, -4), вектор AC: (4, 1)
2) Модуль вектора AB: 5, модуль вектора AC: sqrt(17)
3) Вектор MN: (-5, -6)
4) Скалярное произведение векторов AB и AC: 8
5) Косинус угла между векторами AB и AC: 8 / (5 * sqrt(17))