Question

решить:найдите частное решение дифференциального уравнения y'=-2y удовлетворяющее начальному условию y(0)=2​

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения нам понадобится применить метод переменных разделения.

Шаг 1: Перепишем уравнение в следующем виде:
y' = -2y

Шаг 2: Разделим обе части уравнения на y:
y' / y = -2

Шаг 3: Проинтегрируем обе части уравнения от 0 до x:
∫ (y' / y) dx = ∫ -2 dx

Шаг 4: Проинтегрируем левую часть:
ln|y| = -2x + C1, где С1 - постоянная интегрирования

Шаг 5: Придадим экспоненциальную форму обоим сторонам уравнения:
e^(ln|y|) = e^(-2x + C1)

Шаг 6: Упростим левую часть, используя свойство экспоненты e^(ln|y|) = |y|:
|y| = e^(-2x + C1)

Шаг 7: Раскроем модуль, чтобы учесть оба возможных значения y:
y = ±e^(-2x + C1)

Шаг 8: Заменим С1 на новую постоянную интегрирования С2:
y = ±e^(-2x + C2)

Шаг 9: Подставим начальное условие y(0) = 2:
2 = ±e^(-2 * 0 + C2)
2 = ±e^(C2)
Заметим, что |e^(C2)| всегда положительна, поэтому выберем положительное значение.

Шаг 10: Решение задачи будет иметь вид:
y = e^(-2x + C2)

Подставим начальное условие y(0) = 2 в решение:
2 = e^(-2 * 0 + C2)
2 = e^C2

Из этого следует, что C2 = ln2.

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = 2 будет иметь вид:
y = e^(-2x + ln2)
y = e^(-2x) * 2

Ответ: Частное решение данного дифференциального уравнения y' = -2y с начальным условием y(0) = 2 имеет вид y = e^(-2x) * 2.