Question

Cos8x+3cos4x+3cos2x=8cosxcos(^3)3x-0.5

Answer 1

Добрый день! Давайте разберем данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение:
Cos8x+3cos4x+3cos2x=8cosxcos(^3)3x-0.5

1. Перенесем все члены в левую часть уравнения:
Cos8x + 3cos4x + 3cos2x - 8cosxcos(^3)3x + 0.5 = 0

2. Разложим cos4x и cos2x через cosx:
cos4x = (cos^2x)^2 - (sin^2x)^2 = (cos^2x - sin^2x)^2 = (1 - 2sin^2x)^2 = 1 - 4sin^2x + 4sin^4x

cos2x = 2cos^2x - 1 = 2(1 - sin^2x) - 1 = 2 - 2sin^2x - 1 = 1 - 2sin^2x

3. Подставим полученные разложения в наше уравнение:
cos8x + 3(1 - 4sin^2x + 4sin^4x) + 3(1 - 2sin^2x) - 8cosxcos(^3)3x + 0.5 = 0

4. Упростим и приведем подобные слагаемые:
cos8x + 3 - 12sin^2x + 12sin^4x + 3 - 6sin^2x - 8cosxcos(^3)3x + 0.5 = 0
15 - 18sin^2x + 12sin^4x - 8cosxcos(^3)3x = 0.5 - cos8x

5. Заменим cos8x через cos2x и cos6x:
15 - 18sin^2x + 12sin^4x - 8cosxcos(^3)3x = 0.5 - (2cos^2x - 1)
15 - 18sin^2x + 12sin^4x - 8cosxcos(^3)3x = -1 + 2cos^2x

6. Заменим cosxcos(^3)3x через cos2x:
15 - 18sin^2x + 12sin^4x - 8cosxcos2x = -1 + 2cos^2x

7. Разложим cosxcos2x:
cosxcos2x = (cosx)(2cos^2x - 1) = 2cos^3x - cosx

8. Подставим полученное разложение в уравнение:
15 - 18sin^2x + 12sin^4x - 8(2cos^3x - cosx) = -1 + 2cos^2x

9. Упростим и приведем подобные слагаемые:
15 - 18sin^2x + 12sin^4x - 16cos^3x + 8cosx = -1 + 2cos^2x

10. Перенесем все члены в левую часть:
12sin^4x - 18sin^2x + 16cos^3x - 2cos^2x + 16cosx + 1 - 15 = 0

11. Упростим:
12sin^4x - 18sin^2x + 16cos^3x - 2cos^2x + 16cosx - 14 = 0

Таким образом, получаем уравнение:
12sin^4x - 18sin^2x + 16cos^3x - 2cos^2x + 16cosx - 14 = 0

Данное уравнение сложно решить аналитически. Оно может быть решено численно или с использованием графического метода.