Перепишем уравнения в цилиндрической системе координат: (x, y, z) меняются на (r, φ, z) по формулам x = r cos(φ - arctg 3/4), y = r sin(φ - arctg 3/4) – арктангенс возник из соображений удобства, чтобы третье уравнение выглядело поприличнее. Откуда отсчитывать углы, для нас не принципиально.
Первое уравнение:
Второе уравнение не меняется.
Третье уравнение:
Итак, уравнения поверхностей, ограничивающих тело, выписаны выше: r = 2, z = 1, z = 12 - 5r sin φ. Тело, которое они ограничивают, изображено на приложенном рисунке: это часть цилиндра, вырезанная двумя плоскостями.
Сформулируем условия в виде неравенств. 1 ≤ z ≤ 12 - 5r sin φ 0 ≤ φ ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 2
Осталось вспомнить, что элемент объёма в цилиндрических координатах есть dV = r dr dφ dz, и вычислить интеграл:
ответ: 44π.
________________________________________
Для самопроверки получим этот ответ без интеграла. Самая нижняя точка, в которой наклонная плоскость пересекает цилиндр, это z = 12 - 5 * 2 = 2, самая высокая – z = 12 + 5 * 2 = 22. Тогда объём равен сумме объёма цилиндра с высотой 2 - 1 = 1 и половины объёма цилиндра с высотой 22 - 2 = 20. V = S * (h1 + h2 / 2) = 4π * (1 + 10) = 44π
X^2 - |x - a + 5| = |x + a - 5| - (a - 5)^2 Замена a - 5 = b, просто потому, что так проще писать. x^2 - |x - b| = |x + b| - b^2 1) Пусть a < 5, тогда b = a - 5 < 0, -b > 0 а) Если x < b < 0 < -b, то |x - b| = b - x; |x + b| = -x - b x^2 - b + x = -x - b - b^2 x^2 + 2x + b^2 = 0 Если уравнение имеет единственный корень, то D = 0 D/2 = 1 - b^2 = (1 + b)(1 - b) = 0 Так как по условию b < 0, то b = -1. a = b + 5 = 4 x = -1 - не подходит, потому что должно быть x < b.
б) Если b <= x < -b, то |x - b| = x - b; |x + b| = -x - b x^2 - x + b = -x - b - b^2 x^2 = -b^2 - 2b = -b(b + 2) При этом должно быть b < 0 Один корень x = 0 будет при b = -2, a = b + 5 = 3 a1 = 3
в) Если b < -b <= x, то |x - b| = x - b; |x + b| = x + b x^2 - x + b = x + b - b^2 x^2 - 2x + b^2 = 0 Если уравнение имеет единственный корень, то D = 0 D/2 = 1 - b^2 = (1 + b)(1 - b) = 0 Так как по условию b < 0, то b = -1. a = b + 5 = 4 x = 1 = -b a2 = 4
2) Пусть a = 5, тогда x^2 - |x| = |x| - 0 x^2 = 2|x| x1 = 0 x2 = 2 x3 = -2 Не подходит
3) Пусть a > 5, тогда b = a - 5 > 0, -b < 0 а) Если x < -b < 0 < b, то |x - b| = b - x; |x + b| = -x - b x^2 - b + x = -x - b - b^2 x^2 + 2x + b^2 = 0 Если уравнение имеет единственный корень, то D = 0 D/2 = 1 - b^2 = (1 + b)(1 - b) = 0 Так как по условию b > 0, то b = 1. a = b + 5 = 6 x = -1 = -b - не подходит, потому что должно быть x < -b.
б) Если -b <= x < b, то |x - b| = b - x; |x + b| = x + b x^2 - b + x = x + b - b^2 x^2 = -b^2 + 2b = -b(b - 2) При этом должно быть b > 0 Один корень x = 0 будет при b = 2, a = b + 5 = 7 a3 = 7
в) Если -b < b <= x, то |x - b| = x - b; |x + b| = x + b x^2 - x + b = x + b - b^2 x^2 - 2x + b^2 = 0 Если уравнение имеет единственный корень, то D = 0 D/2 = 1 - b^2 = (1 + b)(1 - b) = 0 Так как по условию b > 0, то b = 1. a = b + 5 = 6 x = 1 = b a4 = 6
Первое уравнение:
Второе уравнение не меняется.
Третье уравнение:
Итак, уравнения поверхностей, ограничивающих тело, выписаны выше: r = 2, z = 1, z = 12 - 5r sin φ. Тело, которое они ограничивают, изображено на приложенном рисунке: это часть цилиндра, вырезанная двумя плоскостями.
Сформулируем условия в виде неравенств.
1 ≤ z ≤ 12 - 5r sin φ
0 ≤ φ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ 2
Осталось вспомнить, что элемент объёма в цилиндрических координатах есть dV = r dr dφ dz, и вычислить интеграл:
ответ: 44π.
________________________________________
Для самопроверки получим этот ответ без интеграла.
Самая нижняя точка, в которой наклонная плоскость пересекает цилиндр, это z = 12 - 5 * 2 = 2, самая высокая – z = 12 + 5 * 2 = 22. Тогда объём равен сумме объёма цилиндра с высотой 2 - 1 = 1 и половины объёма цилиндра с высотой 22 - 2 = 20.
V = S * (h1 + h2 / 2) = 4π * (1 + 10) = 44π