Question

Докажите тождество: 1-sin a/cos a=ctg(n/4+a/2)

Answer 1

Для доказательства данного тождества, нам необходимо преобразовать выражение на правой стороне, чтобы оно стало равным выражению на левой стороне.

Начнем с правой стороны: ctg(n/4 + a/2).

Воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы свести этот тангенс к синусу и косинусу.

ctg(n/4 + a/2) = 1/tg(n/4 + a/2)

Пользуясь тригонометрическим тождеством tg(x) = sin(x)/cos(x), получим:

1/tg(n/4 + a/2) = 1/(sin(n/4 + a/2)/cos(n/4 + a/2))

Используя тождество a/b = a*1/b, получим:
1/(sin(n/4 + a/2)/cos(n/4 + a/2)) = cos(n/4 + a/2)/sin(n/4 + a/2)

Теперь рассмотрим левую сторону тождества: 1 - sin(a)/cos(a).

Приведем эту дробь к общему знаменателю:

1 - sin(a)/cos(a) = (cos(a) - sin(a))/cos(a)

Используя формулу сложения косинуса и синуса\
cos(a) - sin(a) = -sin(a - pi/4)

Таким образом, левая сторона тождества равна -sin(a - pi/4)/cos(a).

Мы видим, что правая и левая стороны тождества имеют похожую структуру, но с разными знаками. Чтобы свести их к одному виду, умножим их на -1:

-sin(a - pi/4)/cos(a) = sin(pi/4 - a)/cos(a)

Теперь мы получили выражение, эквивалентное левой стороне тождества.

Таким образом, тождество можно записать следующим образом:

1 - sin(a)/cos(a) = ctg(n/4 + a/2) = sin(pi/4 - a)/cos(a)

Это доказывает искомое тождество.