Для решения данного дифференциального уравнения, нам понадобится метод, называемый методом разделяющихся переменных.
Шаг 1: Приведение дифференциального уравнения к виду, в котором можно произвести разделяющиеся переменные.
Уравнение имеет вид: (xy+y)dx + (xy+x)dy = 0.
Чтобы привести его к разделяющимся переменным, нужно выделить dx и dy в отдельные части уравнения. Для этого можно раскрыть скобки и перенести все однотипные слагаемые в одну часть уравнения:
xydx + ydx + xydy + xdy = 0.
Теперь скобки раскрыты, и можно выделить dx и dy:
xydx + ydx = -xydy - xdy.
Мы можем сгруппировать слагаемые, чтобы выделить dx и dy:
x(ydx + dx) = -y(xdy + dy).
Шаг 2: Разделение переменных.
Теперь, когда dx и dy выделены, мы можем разделить обе части уравнения на соответствующие коэффициенты:
(x + 1)dx = -y(dx + 1)dy.
Теперь переменные разделены, и каждая переменная находится на своей стороне уравнения.
Шаг 3: Интегрирование.
Чтобы решить уравнение полностью, нужно проинтегрировать обе стороны уравнения.
Для левой части уравнения интеграл будет выглядеть так:
∫(x + 1)dx = (1/2)x^2 + x + C1,
где C1 - константа интегрирования.
Аналогично, для правой части уравнения получаем:
-∫y(dy + 1) = -(1/2)y^2 - y + C2,
где C2 - константа интегрирования.
Шаг 4: Объединение частных решений.
Теперь, когда мы проинтегрировали обе части уравнения, нужно объединить частные решения, учитывая, что они равны друг другу:
(1/2)x^2 + x + C1 = -(1/2)y^2 - y + C2.
Мы можем сократить 1/2 и перенести все слагаемые, содержащие x, в левую часть уравнения:
x^2 + 2x + (C1 - C2) = -y^2 - 2y.
Теперь у нас есть дифференциальное уравнение в более простом виде.
Эта формула дифференциального уравнения также может быть записана в виде:
x^2 + 2x + y^2 + 2y + (C1 - C2) = 0,
где (C1 - C2) является новой константой.
И это является окончательным ответом на данное дифференциальное уравнение.
