Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам необходимо в первую очередь построить график функции y = 4cos(x) и определить на нём интервал по x, ограничивающий фигуру.
1. Начнем с графика функции y = 4cos(x). Для построения этого графика будем использовать информацию о значениях функции при различных значениях аргумента. Построим таблицу:
x | 0 | pi/2 | pi | 3pi/2 | 2pi
-------------------------------
y | 4 | 0 | -4 | 0 | 4
По этой таблице можно установить зависимость:
- при x = 0 и x = 2pi, y равно 4;
- при x = pi/2 и x = 3pi/2, y равно 0;
- при x = pi, y равно -4.
Таким образом, для построения графика функции y = 4cos(x) соединим точки (0, 4) и (pi/2, 0) с помощью гладкой кривой, затем также соединим точки (pi, -4) и (3pi/2, 0).
2. Теперь у нас есть график функции, но нам нужно определить интервал по x, ограничивающий фигуру.
Из условия задачи дано, что x принадлежит интервалу от 0 до 3pi/2. То есть, искомая фигура находится между углами x=0 и x=3pi/2 на графике функции y = 4cos(x).
3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4cos(x), y = 0, x = 0 и x = 3pi/2, нужно посчитать площади двух треугольников и прямоугольника.
- Начнем с прямоугольника. Он имеет ширину x = 3pi/2 и высоту y = 4. Площадь прямоугольника равна площади прямоугольника со сторонами 3pi/2 и 4: S_прямоугольника = (3pi/2) * 4 = 6pi.
- Далее, у нас есть два треугольника. Один треугольник образуется линиями x=0, x=3pi/2 и y=0. Он имеет высоту h = 4 и основание b = 3pi/2. Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника с этими параметрами: S_треугольника = (1/2) * h * b = (1/2) * 4 * (3pi/2) = 6pi.
- Второй треугольник образуется линиями x=pi, x=3pi/2 и y=0. Он также имеет высоту h = 4 и основание b = pi/2. Площадь этого треугольника также равна половине площади соответствующего прямоугольника: S_треугольника = (1/2) * h * b = (1/2) * 4 * (pi/2) = 2pi.
4. Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4cos(x), y = 0, x = 0 и x = 3pi/2, нужно сложить площади прямоугольника и двух треугольников:
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам необходимо в первую очередь построить график функции y = 4cos(x) и определить на нём интервал по x, ограничивающий фигуру.
1. Начнем с графика функции y = 4cos(x). Для построения этого графика будем использовать информацию о значениях функции при различных значениях аргумента. Построим таблицу:
x | 0 | pi/2 | pi | 3pi/2 | 2pi
-------------------------------
y | 4 | 0 | -4 | 0 | 4
По этой таблице можно установить зависимость:
- при x = 0 и x = 2pi, y равно 4;
- при x = pi/2 и x = 3pi/2, y равно 0;
- при x = pi, y равно -4.
Таким образом, для построения графика функции y = 4cos(x) соединим точки (0, 4) и (pi/2, 0) с помощью гладкой кривой, затем также соединим точки (pi, -4) и (3pi/2, 0).
2. Теперь у нас есть график функции, но нам нужно определить интервал по x, ограничивающий фигуру.
Из условия задачи дано, что x принадлежит интервалу от 0 до 3pi/2. То есть, искомая фигура находится между углами x=0 и x=3pi/2 на графике функции y = 4cos(x).
3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4cos(x), y = 0, x = 0 и x = 3pi/2, нужно посчитать площади двух треугольников и прямоугольника.
- Начнем с прямоугольника. Он имеет ширину x = 3pi/2 и высоту y = 4. Площадь прямоугольника равна площади прямоугольника со сторонами 3pi/2 и 4: S_прямоугольника = (3pi/2) * 4 = 6pi.
- Далее, у нас есть два треугольника. Один треугольник образуется линиями x=0, x=3pi/2 и y=0. Он имеет высоту h = 4 и основание b = 3pi/2. Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника с этими параметрами: S_треугольника = (1/2) * h * b = (1/2) * 4 * (3pi/2) = 6pi.
- Второй треугольник образуется линиями x=pi, x=3pi/2 и y=0. Он также имеет высоту h = 4 и основание b = pi/2. Площадь этого треугольника также равна половине площади соответствующего прямоугольника: S_треугольника = (1/2) * h * b = (1/2) * 4 * (pi/2) = 2pi.
4. Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4cos(x), y = 0, x = 0 и x = 3pi/2, нужно сложить площади прямоугольника и двух треугольников:
S_фигуры = S_прямоугольника + S_треугольника1 + S_треугольника2 = 6pi + 6pi + 2pi = 14pi.
Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = 4cos(x), y = 0, x = 0 и x = 3pi/2 равна 14pi квадратных единиц.