Чтобы число делилось нацело на 3, сумма цифр числа должна делиться на 3 нацело.
а) 2382; 2385; 2388
2 + 3 + 8 + 0 = 13 ⇒ 13 : 3 = 4 (ост. 1)
2 + 3 + 8 + 1 = 14 ⇒ 14 : 3 = 4 (ост. 2)
2 + 3 + 8 + 2 = 15 ⇒ 15 : 3 = 5
2 + 3 + 8 + 3 = 16 ⇒ 16 : 3 = 5 (ост. 1)
2 + 3 + 8 + 4 = 17 ⇒ 17 : 3 = 5 (ост. 2)
2 + 3 + 8 + 5 = 18 ⇒ 18 : 3 = 6
2 + 3 + 8 + 6 = 19 ⇒ 19 : 3 = 6 (ост. 1)
2 + 3 + 8 + 7 = 20 ⇒ 20 : 3 = 6 (ост. 2)
2 + 3 + 8 + 8 = 21 ⇒ 21 : 3 = 7
2 + 3 + 8 + 9 = 22 ⇒ 22 : 3 = 7 (ост. 1)
б) 147; 447; 747
1 + 4 + 7 = 12 ⇒ 12 : 3 = 4
2 + 4 + 7 = 13 ⇒ 13 : 3 = 4 (ост. 1)
3 + 4 + 7 = 14 ⇒ 14 : 3 = 4 (ост. 2)
4 + 4 + 7 = 15 ⇒ 15 : 3 = 5
5 + 4 + 7 = 16 ⇒ 16 : 3 = 5 (ост. 1)
6 + 4 + 7 = 17 ⇒ 17 : 3 = 5 (ост. 2)
7 + 4 + 7 = 18 ⇒ 18 : 3 = 6
8 + 4 + 7 = 19 ⇒ 19 : 3 = 6 (ост. 1)
9 + 4 + 7 = 20 ⇒ 20 : 3 = 6 (ост. 2)
в) 4050; 4350; 4650; 4950
4 + 0 + 5 + 0 = 9 ⇒ 9 : 3 = 3
4 + 1 + 5 + 0 = 10 ⇒ 10 : 3 = 3 (ост. 1)
4 + 2 + 5 + 0 = 11 ⇒ 11 : 3 = 3 (ост. 2)
4 + 3 + 5 + 0 = 12 ⇒ 12 : 3 = 4
4 + 4 + 5 + 0 = 13 ⇒ 13 : 3 = 4 (ост. 1)
4 + 5 + 5 + 0 = 14 ⇒ 14 : 3 = 4 (ост. 2)
4 + 6 + 5 + 0 = 15 ⇒ 15 : 3 = 5
4 + 7 + 5 + 0 = 16 ⇒ 16 : 3 = 5 (ост. 1)
4 + 8 + 5 + 0 = 17 ⇒ 17 : 3 = 5 (ост. 2)
4 + 9 + 5 + 0 = 18 ⇒ 18 : 3 = 6
Пошаговое объяснение:
№3
Дано: ΔАВС, АА₁, ВВ₁ - биссектрисы. АА₁ ∩ ВВ₁ = М.
∠АМВ = 128°.
Найти: ∠МСВ₁.
Из ΔАМВ: ∠МАВ + ∠МВА = 180° - 128° = 52° (сумма углов треугольника 180°)
∠МАВ и ∠МВА половины углов ВАС и АВС. Значит,
∠ВАС + ∠АВС = 52° · 2 = 104°
Тогда, ∠АСВ = 180° - (∠ВАС + ∠АВС) = 180° - 104° = 76°.
М - точка пересечения биссектрис, значит, СМ - биссектриса угла АСВ.
Тогда ∠МСВ₁ = ∠АСВ/2 = 76°/2 = 38°
ответ: 38°
№4.
Дано: ΔMKN, MK = 17, MD = DN, D∈MN, CD⊥MN, C∈MK, CN = 10
Найти: СК.
CD - серединный перпендикуляр к MN. Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов. Значит, MC = CN = 10.
CK = MK - MC = 17 - 10 = 7
ответ: 7
№7
Дано: ΔMEN, EF и MK - медианы, EF ⊥ MK, EF ∩ MK = О.
EF = 18, MK = 15.
Найти: ON.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
OF = EF/3 = 18/3 = 6, OE = 2OF = 12
OK = MK/3 = 15/3 = 5, ON = 2OK = 10
ΔЕОК: ∠ЕОК = 90°, по теореме Пифагора
ЕК = √(ОК² + OE²) = √(144 + 25) = √169 = 13
cos∠OEK = OE/EK = 12/13
EN = 2EK = 26
ΔOEN по теореме косинусов:
ON² = OE² + EN² - 2OE·EN·cos∠OEN
ON² = 144 + 676 - 2 · 12 · 26 · 12/13 = 820 - 576 = 244
ON = 2√61
ответ: 2√61
№8
Дано: ΔАВС, О - точка пересечения серединных перпендикуляров к AC и ВС.
∠АОВ = 120°, АB = 20
Найти: ОС.
Т.к. О - точка пересечения серединных перпендикуляров, О - центр окружности, описанной около ΔАВС. Тогда ОА = ОВ = ОС как радиусы.
ΔАОВ:
пусть ОА = ОВ = х, тогда по теореме косинусов:
АВ² = OA² + OB² - 2OA·OB·cos120°
400 = x² + x² + 2x²·1/2
400 = 2x² + x²
3x² = 400
x² = 400/3
x = 20/√3 = 20√3/3
ответ: ОС = 20√3