Question

Найти экстремум функции: z(x, y) = sinx + cosy + cos(x − y)

Answer 1

Хорошо, я готов выступить в роли школьного учителя и помочь разобраться с этим вопросом.

Мы должны найти экстремум функции z(x, y) = sinx + cosy + cos(x − y).

Первый шаг - найти частные производные функции z(x, y) по x и y. Для этого мы применяем правила дифференцирования для элементарных функций.

Частная производная по x:
∂z/∂x = ∂(sinx)/∂x + ∂(cosy)/∂x + ∂(cos(x − y))/∂x

∂(sinx)/∂x = cosx
∂(cosy)/∂x = 0, так как y является константой по отношению к x
∂(cos(x − y))/∂x = -sin(x − y) по правилу дифференцирования для cos(x - y)

Итак, ∂z/∂x = cosx - sin(x - y).

Теперь посчитаем частную производную по y:

∂z/∂y = ∂(sinx)/∂y + ∂(cosy)/∂y + ∂(cos(x − y))/∂y

∂(sinx)/∂y = 0, так как x является константой по отношению к y
∂(cosy)/∂y = -siny
∂(cos(x − y))/∂y = sin(x - y) по правилу дифференцирования для cos(x - y)

Итак, ∂z/∂y = -siny + sin(x - y).

Теперь найдем точки, где ∂z/∂x = 0 и ∂z/∂y = 0. Эти точки представляют собой кандидатов на экстремумы функции z(x, y).

Таким образом, уравнения для поиска таких точек:
cosx - sin(x - y) = 0 (1)
-siny + sin(x - y) = 0 (2)

Решим эти уравнения одновременно для x и y.

Из уравнения (1) можем найти выражение для cosx:
cosx = sin(x - y)

Теперь подставим это выражение в уравнение (2):
-siny + sin(x - y) = 0

Мы можем выразить siny через sin(x - y):
siny = sin(x - y)

Теперь у нас уравнение:
sin(x - y) = sin(x - y)

Мы видим, что это равенство выполняется для всех x и y, поскольку sin(x - y) равно sin(x - y). Таким образом, мы получаем, что ∂z/∂x = 0 и ∂z/∂y = 0 одновременно для всех x и y, и значит не существует точек, в которых функция z(x, y) имеет экстремумы.

Таким образом, ответом на задачу является то, что функция z(x, y) = sinx + cosy + cos(x − y) не имеет экстремумов.