1) Пусть уроков было N. Пусть Петя победил a раз, Коля b раз, Вася c раз.
Пусть Петя пропустил 1 урок, то есть был на N-1 уроке. Тогда:
Петя получил 4a + 1*(N-1-a) = N + 3a - 1 = 29 конфет.
Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты
Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет
Из 1 уравнения получаем:
N + 3a = 30, N = 30 - 3a = 3(10 - a), то есть N кратно 3.
Тогда N - 3b и N - 3c тоже были бы кратны 3, но этого нет.
Значит, урок пропустил НЕ Петя.
Пусть урок пропустил Коля. Тогда получится:
Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.
Коля получил 4b + 1*(N-1-b) = N + 3b - 1 = 32 конфеты
Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет
Тогда из 2 уравнения N + 3b = 33; N = 33 - 3b = 3(11 - b).
Получаем тоже самое: из 2 уравнения N кратно 3, а из 1 и 3 - нет.
Значит, урок пропустил Вася.
Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.
Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты
Вася получил 4c + 1*(N-1-c) = N + 3c - 1 = 37 конфет
Теперь из 3 уравнения: N = 38 - 3c, N на 3 не делится, все сходится.
Если написать 4 уравнение: a + b + c = N, то получаем систему:
{ N + 3a = 29
{ N + 3b = 32
{ N + 3c = 38
{ a + b + c = N
Но из этой системы получается N = 99/6 = 16,5, что невозможно.
Так что в задаче ошибка, но тем не менее
ответ: урок пропустил Вася.
2) Я не знаю, как это доказать, с геометрией у меня сложности.
3) Это намного проще, чем 1)
494 = 2*13*19 = 13*38
Это число 138.
Переяславль-Залесского, осиротели двое детей...". Но в то же время мы понимаем, что описанные события происходили на самом деле. Во-первых, автор точно указал место и время, во-вторых, рассказ ведется от лица человека, жившего по соседству, а в сказках обычно говорится, что дело было "давным-давно", и происходило оно "в тридевятом царстве, тридесятом государстве".
Настя и Митраша - главные герои. "Золотая Курочка" и "Мужичок в мешочке", как ласково называли их соседи. После смерти родителей им досталось все крестьянское хозяйство: изба пятистенная, корова Зорька, телушка Дочка, золотой петух Петя и поросенок Хрен. Дети заботились обо всех живых существах. Настя, занимаясь женскими домашними делами, "хлопотала по хозяйству до ночи". На Митраше лежало все мужское хозяйство и общественное дело. Так дети жили дружно, не зная горестей и бед. Это описание жизни ребят тоже напоминает сказку - чудесный мир, где все живое взаимосвязано.