Здесь суть в том, чтобы рассмотреть функцию arctg(3m^2+12m+11). Областью определения f1(m)=arctg(m) является множество действительных чисел. Областью определения f2(m)=arctg(3m^2+12m+11) тоже является множество действительных чисел. Множество значений f1(m) равно (-π/2;π/2). Но теперь рассмотрим внимательнее функцию f2(m). Запишем ее от другого аргумента. Это будет уже другая функция g(n)=arctg(n), причем n является функцией от m. n(m)=3m^2+12m+11. Теперь уже на область определения функции g(n) накладываются новые ограничения, поскольку областью определения функции g(n) является область значений функции n(m). n(m) - парабола с ветвями вверх, ее минимальное значение достигается при m=-12/(2*3)=-2. n(-2)=-1. Сверху ограничений на функцию n(m) нет. Функции f1(m) и g(n) похожи. Разница лишь в их области определения. Это влечет изменение области значений. Если у f1(m) нижней границей была асимптота -π/2, то у g(n) наименьшим значением является g(-1)=-π/4. Верхняя же граница у обоих функций совпадает. Таким образом, областью значений функции g(n)=arctg(n), где n(m)=3m^2+12m+11, является полуинтервал [-π/4;π/2). Вернемся к исходному неравенству. 1) Если x=0, то левая часть неравенства обращается в 0, и неравенство не справедливо ни при каких m. 2) x∈[-3;0) Можно разделить обе части на 4x, при этом сменив знак неравенства. π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)<0 arctg(3m^2+12m+11)>π/4*(x+1) Слева находится функция арктангенса, ограниченная областью значений [-π/4;π/2). Справа находится горизонтальная прямая. Требуется, чтобы функция арктангенса была полностью выше этой прямой. Очевидно, что π/4*(x+1) должно быть строго меньше наименьшего значения функции арктангенса. π/4*(x+1)<-π/4 x+1<-1 x<-2 Ввиду ограничений для этого пункта, x∈[-3;-2) 3) x∈(0;1] Здесь разделим исходное неравенство на 4x уже без смены знака. π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)>0 arctg(3m^2+12m+11)<π/4*(x+1) Так как π/2 является верхней границей арктангенса, которая никогда не достигается, то справедливо неравенство: arctg(3m^2+12m+11)<π/2≤π/4*(x+1) Отсюда π/2≤π/4*(x+1), 2≤x+1 x≥1 С учетом ограничений для этого пункта, x=1. Таким образом, x∈[-3;2)∪{1}
Рассмотрим три случая: х>0; x<0; x=0; 1. x>0 В случае, когда х>0 выражение будет принимать значение от 0 до 1.(оба не включаются в равенство) 2. х<0 В случае, когда x<0 выражение принимает значение от -бесконечности до 0(не включительно). Например х=-3; -(1/2)^-3+1=-8+1=-7 3. x=0 В случае, когда показатель степени равно нулю, любое значение равно 1, т.е. -1+1=0. Основываясь на этих фактах, функция принимает значения от (-бесконечности; 1). п.с. функция значение 1 не принимает, так как выражение -(1/2)^x ни при каком x не будет равно 0.
Но теперь рассмотрим внимательнее функцию f2(m). Запишем ее от другого аргумента. Это будет уже другая функция g(n)=arctg(n), причем n является функцией от m. n(m)=3m^2+12m+11. Теперь уже на область определения функции g(n) накладываются новые ограничения, поскольку областью определения функции g(n) является область значений функции n(m).
n(m) - парабола с ветвями вверх, ее минимальное значение достигается при m=-12/(2*3)=-2. n(-2)=-1. Сверху ограничений на функцию n(m) нет.
Функции f1(m) и g(n) похожи. Разница лишь в их области определения. Это влечет изменение области значений. Если у f1(m) нижней границей была асимптота -π/2, то у g(n) наименьшим значением является g(-1)=-π/4. Верхняя же граница у обоих функций совпадает. Таким образом, областью значений функции g(n)=arctg(n), где n(m)=3m^2+12m+11, является полуинтервал [-π/4;π/2).
Вернемся к исходному неравенству.
1) Если x=0, то левая часть неравенства обращается в 0, и неравенство не справедливо ни при каких m.
2) x∈[-3;0)
Можно разделить обе части на 4x, при этом сменив знак неравенства.
π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)<0
arctg(3m^2+12m+11)>π/4*(x+1)
Слева находится функция арктангенса, ограниченная областью значений [-π/4;π/2). Справа находится горизонтальная прямая. Требуется, чтобы функция арктангенса была полностью выше этой прямой. Очевидно, что π/4*(x+1) должно быть строго меньше наименьшего значения функции арктангенса.
π/4*(x+1)<-π/4
x+1<-1
x<-2
Ввиду ограничений для этого пункта, x∈[-3;-2)
3) x∈(0;1]
Здесь разделим исходное неравенство на 4x уже без смены знака.
π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)>0
arctg(3m^2+12m+11)<π/4*(x+1)
Так как π/2 является верхней границей арктангенса, которая никогда не достигается, то справедливо неравенство:
arctg(3m^2+12m+11)<π/2≤π/4*(x+1)
Отсюда π/2≤π/4*(x+1),
2≤x+1
x≥1
С учетом ограничений для этого пункта, x=1.
Таким образом, x∈[-3;2)∪{1}