Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD, A1D1 и CC1.

Answer 1

Для начала, чтобы лучше понять задачу, давайте визуализируем куб ABCDA1B1C1D1.

Давайте разберемся с плоскостью ADA1. Эта плоскость проходит через точки A, D и A1.

Сначала найдем координаты точек A, D и A1. Поскольку куб ABCDA1B1C1D1 является правильным кубом, все его ребра имеют одинаковую длину и параллельны осям координат.

Предположим, что сторона куба имеет длину a.

Теперь мы можем определить координаты точек A, D и A1:

A: (0, 0, 0)
D: (a, 0, 0)
A1: (0, a, 0)

Теперь наша задача - найти угол между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD, A1D1 и CC1.

Для этого нам нужно найти угол между нормалями к этим плоскостям.

Нормаль к плоскости ADA1 можно найти, найдя векторное произведение векторов DA и DA1.

Вектор DA: DA = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0)
Вектор DA1: DA1 = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0)

Теперь найдем векторное произведение:

n1 = DA x DA1 = (a, 0, 0) x (0, a, 0) = (0, 0, a^2)

Таким образом, нормаль к плоскости ADA1 будет n1 = (0, 0, a^2).

Теперь найдем плоскость, проходящую через середины ребер AD, A1D1 и CC1.

Чтобы найти середину ребра, можно взять среднее значение координат концов ребра.

Середина ребра AD будет иметь координаты:
( (0 + a)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2 ) = (a/2, 0, 0)

Середина ребра A1D1 будет иметь координаты:
( (0 + a)/2, (a + 0)/2, (0 + 0)/2 ) = (a/2, a/2, 0)

Середина ребра CC1 будет иметь координаты:
( (0 + 0)/2, (a + a)/2, (0 + 0)/2 ) = (0, a, 0)

Теперь найдем вектор, проходящий через эти три точки.

Вектор, проходящий через середины ребер, можно найти, найдя разницу между координатами начальной и конечной точек вектора.

Вектор ADсеред = (a/2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a/2, 0, 0)
Вектор A1D1серед = (a/2, a/2, 0) - (a, 0, 0) = (-a/2, a/2, 0)
Вектор CC1серед = (0, a, 0) - (0, a, 0) = (0, 0, 0)

Нормаль к плоскости, проходящей через эти три точки будет равна векторному произведению векторов ADсеред, A1D1серед и CC1серед.

n2 = ADсеред x A1D1серед x CC1серед = (a/2, 0, 0) x (-a/2, a/2, 0) x (0, 0, 0)

Поскольку вектор CC1серед равен нулю, векторное произведение ADсеред x A1D1серед будет равно нулю.

Теперь мы знаем нормали к обеим плоскостям - n1 = (0, 0, a^2) и n2 = 0.

Найдем тангенс угла между нормалями. Тангенс угла между векторами можно найти, используя их скалярное произведение и длины векторов.

Тангенс угла между векторами n1 и n2 будет равен:

tg(угол) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|)

Поскольку n1 * n2 = 0 и |n2| = 0, тангенс угла между плоскостями будет равен нулю, т.е. tg(угол) = 0.

Итак, тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD, A1D1 и CC1, будет равен нулю.