Question

Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. Сумма площадей данных треугольников равна 78 см^2. Найдите площадь меньшего треугольника.
Сверху рис. к заданию
​

Answer 1

Добрый день! Давайте решим эту задачу вместе.

В условии задачи сказано, что треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. Подобные треугольники имеют одинаковые углы, но разные стороны, которые пропорциональны. Давайте обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c, а длины сторон треугольника A1B1C1 как a1, b1 и c1.

Сумма площадей двух треугольников равна 78 см². Обозначим площадь треугольника ABC как S и площадь треугольника A1B1C1 как S1.

Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле: S = (a * h) / 2, где a - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

Для треугольника ABC длина основания будет сторона c (a = c), а для треугольника A1B1C1 длина основания будет сторона c1 (a1 = c1).

Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABC равна (c * h) / 2, а площадь треугольника A1B1C1 равна (c1 * h1) / 2.

Так как треугольники подобны, то отношение длин сторон равно отношению их высот. Мы можем записать это в виде соотношения: c / a = c1 / a1.

Теперь нам нужно использовать данное соотношение, чтобы выразить высоту треугольника ABC через высоту треугольника A1B1C1. Выразим высоту h через высоту h1:

c / a = c1 / a1
c / (c * h / 2) = c1 / (c1 * h1 / 2)
2 / h = 2 / h1
h = h1

Мы получили, что высоты треугольников ABC и A1B1C1 равны. Теперь мы можем записать формулы для площадей треугольников:

S = (c * h) / 2
S1 = (c1 * h1) / 2

Из соотношения h = h1 мы можем сделать вывод, что S = S1.

Таким образом, площадь меньшего треугольника (пусть это будет треугольник ABC) будет равна половине суммы площадей двух подобных треугольников:

Площадь меньшего треугольника = (S + S1) / 2 = (78) / 2 = 39 см².

Ответ: Площадь меньшего треугольника равна 39 см².