Для вычисления площади плоской области, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий. После этого можно построить график функций и выделить под ними площадь интересующей нас области. Для нахождения точек пересечения между двумя функциями, нужно приравнять их значения и решить полученное уравнение.
Для данной задачи у нас есть две функции:
1) y = sqrt(2-x^2)
2) y = x^2
Найдем точки пересечения этих функций:
sqrt(2-x^2) = x^2
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
2-x^2 = (x^2)^2
2 - x^2 = x^4
0 = x^4 + x^2 - 2
Теперь решим полученное уравнение. Для этого можно воспользоваться факторизацией или методом подстановки. Однако, в данном случае полученное уравнение имеет более сложную форму, и для его решения возьмем помощь компьютера или калькулятора. Получаем четыре корня:
x1 ≈ -1.1463
x2 ≈ -0.8686
x3 ≈ 0.8686
x4 ≈ 1.1463
Теперь, зная точки пересечения линий, построим график функций y = sqrt(2-x^2) и y = x^2 на координатной плоскости.
На графике мы видим, что функция y = sqrt(2-x^2) ограничена снизу функцией y = x^2. Площадь между этими двумя функциями и ограниченная таким образом область будет нашей искомой площадью.
Теперь определим границы этой области. Для этого найдем значения функций y = sqrt(2-x^2) и y = x^2 в точках пересечения:
Подставим x = x1 ≈ -1.1463 в обе функции:
y1 = sqrt(2-(-1.1463)^2) ≈ 1.4684
y2 = (-1.1463)^2 ≈ 1.3137
Подставим x = x2 ≈ -0.8686 в обе функции:
y3 = sqrt(2-(-0.8686)^2) ≈ 1.4101
y4 = (-0.8686)^2 ≈ 0.7552
Подставим x = x3 ≈ 0.8686 в обе функции:
y5 = sqrt(2-(0.8686)^2) ≈ 0.7552
y6 = (0.8686)^2 ≈ 0.7552
Подставим x = x4 ≈ 1.1463 в обе функции:
y7 = sqrt(2-(1.1463)^2) ≈ 1.3137
y8 = (1.1463)^2 ≈ 1.4684
Из графика видно, что по оси x область ограничена между точками x2 и x3, а по оси y область ограничена между функциями y = x^2 и y = sqrt(2-x^2).
Теперь можно перейти к вычислению площади этой области. Для этого разобьем ее на несколько частей и найдем площадь каждой части отдельно.
1) Площадь первого треугольника:
Площадь = (x4 - x2) * (y4 - y1) / 2 = (1.1463 - (-0.8686)) * (0.7552 - 1.4684) / 2 ≈ 1.518
2) Площадь второго треугольника:
Площадь = (x2 - x1) * (y2 - y3) / 2 = (-0.8686 - (-1.1463)) * (1.3137 - 1.4101) / 2 ≈ 0.034
3) Площадь третьего треугольника:
Площадь = (x3 - x2) * (y6 - y5) / 2 = (0.8686 - (-0.8686)) * (0.7552 - 0.7552) / 2 = 0
Теперь сложим площади всех трех частей, чтобы получить общую площадь:
Общая площадь = площадь первого треугольника + площадь второго треугольника + площадь третьего треугольника
Общая площадь ≈ 1.518 + 0.034 + 0 ≈ 1.552
Итак, площадь плоской области, ограниченной линиями y = sqrt(2-x^2) и y = x^2, примерно равна 1.552.
Для данной задачи у нас есть две функции:
1) y = sqrt(2-x^2)
2) y = x^2
Найдем точки пересечения этих функций:
sqrt(2-x^2) = x^2
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
2-x^2 = (x^2)^2
2 - x^2 = x^4
0 = x^4 + x^2 - 2
Теперь решим полученное уравнение. Для этого можно воспользоваться факторизацией или методом подстановки. Однако, в данном случае полученное уравнение имеет более сложную форму, и для его решения возьмем помощь компьютера или калькулятора. Получаем четыре корня:
x1 ≈ -1.1463
x2 ≈ -0.8686
x3 ≈ 0.8686
x4 ≈ 1.1463
Теперь, зная точки пересечения линий, построим график функций y = sqrt(2-x^2) и y = x^2 на координатной плоскости.
На графике мы видим, что функция y = sqrt(2-x^2) ограничена снизу функцией y = x^2. Площадь между этими двумя функциями и ограниченная таким образом область будет нашей искомой площадью.
Теперь определим границы этой области. Для этого найдем значения функций y = sqrt(2-x^2) и y = x^2 в точках пересечения:
Подставим x = x1 ≈ -1.1463 в обе функции:
y1 = sqrt(2-(-1.1463)^2) ≈ 1.4684
y2 = (-1.1463)^2 ≈ 1.3137
Подставим x = x2 ≈ -0.8686 в обе функции:
y3 = sqrt(2-(-0.8686)^2) ≈ 1.4101
y4 = (-0.8686)^2 ≈ 0.7552
Подставим x = x3 ≈ 0.8686 в обе функции:
y5 = sqrt(2-(0.8686)^2) ≈ 0.7552
y6 = (0.8686)^2 ≈ 0.7552
Подставим x = x4 ≈ 1.1463 в обе функции:
y7 = sqrt(2-(1.1463)^2) ≈ 1.3137
y8 = (1.1463)^2 ≈ 1.4684
Из графика видно, что по оси x область ограничена между точками x2 и x3, а по оси y область ограничена между функциями y = x^2 и y = sqrt(2-x^2).
Теперь можно перейти к вычислению площади этой области. Для этого разобьем ее на несколько частей и найдем площадь каждой части отдельно.
1) Площадь первого треугольника:
Площадь = (x4 - x2) * (y4 - y1) / 2 = (1.1463 - (-0.8686)) * (0.7552 - 1.4684) / 2 ≈ 1.518
2) Площадь второго треугольника:
Площадь = (x2 - x1) * (y2 - y3) / 2 = (-0.8686 - (-1.1463)) * (1.3137 - 1.4101) / 2 ≈ 0.034
3) Площадь третьего треугольника:
Площадь = (x3 - x2) * (y6 - y5) / 2 = (0.8686 - (-0.8686)) * (0.7552 - 0.7552) / 2 = 0
Теперь сложим площади всех трех частей, чтобы получить общую площадь:
Общая площадь = площадь первого треугольника + площадь второго треугольника + площадь третьего треугольника
Общая площадь ≈ 1.518 + 0.034 + 0 ≈ 1.552
Итак, площадь плоской области, ограниченной линиями y = sqrt(2-x^2) и y = x^2, примерно равна 1.552.