Question

Найти общее решение ЛНДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами решить сам никак

Answer 1

$y'' - 2y' + 5y = e^{2x}$

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является $y = y^{*} +\widetilde{y}$.

1) $y^{*}$ — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

$y'' - 2y' + 5y = 0$

Применим метод Эйлера: сделаем замену $y = e^{kx},$ где $k$ — некоторая постоянная. Тогда $y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}$

Получили характеристическое уравнение:

$k^{2}e^{kx} - 2ke^{kx} + 5e^{kx} = 0$

Разделим обе части уравнения на $e^{kx}$:

$k^{2} - 2k + 5 = 0$

$D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$

Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:

$k_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

Тогда $y^{*}_{1} = e^{(1 + 2i)x}, \ y^{*}_{2} = e^{(1 - 2i)x}$

Воспользуемся формулой Эйлера: $e^{i \varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$

Фундаментальная система решений: $y^{*}_{1} = e^{x}\cos 2x, \ y_{2}^{*} = e^{x}\sin 2x$ — функции линейно независимые, поскольку $\dfrac{y_{1}^{*}}{y_{2}^{*}} = \dfrac{e^{x}\cos 2x}{e^{x}\sin 2x} = \text{ctg} \, 2x \neq \text{const}$

Общее решение: $y^{*} = C_{1}y_{1}^{*} + C_{2}y_{2}^{*} = C_{1}e^{x}\cos 2x + C_{2}e^{x}\sin 2x$

2) $\widetilde{y}$ — частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое находится с метода подбора вида частного решения по виду правой части функции $f(x)$.

Здесь $f(x) = e^{2x}$, причем $\alpha = 2 \neq k_{1,2}$, поэтому частное решение имеет вид $\widetilde{y} = Ae^{2x}$, где $A$ — неизвестный коэффициент, который нужно найти.

Тогда $\widetilde{y}' = 2Ae^{2x}, \ \widetilde{y}'' = 4Ae^{2x}$ и $\widetilde{y} = Ae^{2x}$ подставим в исходное ЛНДР и найдем $A$:

$4Ae^{2x} - 2 \cdot 2Ae^{2x} + 5 \cdot Ae^{2x} = e^{2x}$

Разделим обе части уравнения на $e^{2x}$

$4A - 4A+ 5A = 1$

$A = \dfrac{1}{5}$

Таким образом, частное решение: $\widetilde{y} = \dfrac{1}{5} e^{2x}$

Тогда общим решением исходного ЛНДР с постоянными коэффициентами:

$y = y^{*} +\widetilde{y} =e^{x}\left(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + \dfrac{1}{5} e^{x}\right)$

ответ: $y =e^{x}\left(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + \dfrac{1}{5} e^{x}\right)$