Question

2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение

Answer 1

$2x^{3}y' = y(2x^{2} - y^{2})$

$y' = \dfrac{y(2x^{2} - y^{2})}{2x^{3}}$

$y' = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}$

Пусть $f(x,y) = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}$

Сделаем проверку:

$f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{2(\lambda x)^{2}\lambda y - (\lambda y)^{3}}{2(\lambda x)^{3}} = \dfrac{\lambda ^{3} (2x^{2}y - y^{3})}{2\lambda ^{3}x^{3}} =\dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}} = f(x,y)$

Таким образом, $f(\lambda x,\lambda y) = \lambda ^{0}f(x,y)$ — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: $y = u \cdot x,$ где $u = u(x)$. Тогда $y' = u'x + u$

Имеем:

$u'x + u = \dfrac{2x^{2}ux - (ux)^{3}}{2x^{3}}$

$u'x + u = \dfrac{2x^{3}u - u^{3}x^{3}}{2x^{3}}$

$u'x + u = \dfrac{x^{3}(2u - u^{3})}{2x^{3}}$

$u'x = \dfrac{2u - u^{3}}{2} - u$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{u^{3}}{2}$

$\dfrac{du}{u^{3}} = - \dfrac{dx}{2x}$

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u^{3}} = - \int \dfrac{dx}{2x}$

$-\dfrac{1}{2u^{2}} = -\dfrac{1}{2}\ln |x| + C \ \ \ | \cdot (-2)$

$\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |x| + \ln|C_{1}|$

$\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |C_{1}x|$

$u^{2} = \dfrac{1}{\ln|C_{1}x|}$

$u = \pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =\pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

$y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

ответ: $y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }$

Answer 2

Пошаговое объяснение: решение в файле