Для начала решим данную задачу пошагово. Найдем наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+3)-6 на отрезке [-5;-3;5]:
Шаг 1: Найдем значения функции на границах отрезка
Подставим значения x=-5 и x=5 в уравнение функции:
- Для x=-5:
y=(-5+4)^2(-5+3)-6
y=(-1)^2(-2)-6
y=-2-6
y=-8
- Для x=5:
y=(5+4)^2(5+3)-6
y=9^2(8)-6
y=81(8)-6
y=648-6
y=642
Таким образом, имеем значения функции y на границах отрезка: y=-8 для x=-5 и y=642 для x=5.
Шаг 2: Исследуем функцию на наличие экстремумов
Для этого найдем производную функции по переменной x:
y' = 2(x+4)(x+3) + (x+4)^2
Таким образом, мы получили две точки, в которых значение функции достигает экстремума: x1 = -10/3 со значением y=-152/27 и x2 = -4 со значением y=-6.
Шаг 5: Сравнение значений функции на границах и точках экстремума
Теперь сравним все полученные значения функции:
y(-5)=-8, y(-10/3)=-152/27, y(-4)=-6 и y(5)=642.
Наибольшим значением функции на отрезке [-5;-3;5] является 642, при этом x=5.
Итак, наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+3)-6 на отрезке [-5;-3;5] равно 642 и достигается при x=5.
Шаг 1: Найдем значения функции на границах отрезка
Подставим значения x=-5 и x=5 в уравнение функции:
- Для x=-5:
y=(-5+4)^2(-5+3)-6
y=(-1)^2(-2)-6
y=-2-6
y=-8
- Для x=5:
y=(5+4)^2(5+3)-6
y=9^2(8)-6
y=81(8)-6
y=648-6
y=642
Таким образом, имеем значения функции y на границах отрезка: y=-8 для x=-5 и y=642 для x=5.
Шаг 2: Исследуем функцию на наличие экстремумов
Для этого найдем производную функции по переменной x:
y' = 2(x+4)(x+3) + (x+4)^2
Раскроем скобки:
y' = 2(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 8x + 16)
y' = 2x^2 + 14x + 24 + x^2 + 8x + 16
y' = 3x^2 + 22x + 40
Шаг 3: Решим уравнение y' = 0
Для этого поставим производную равной нулю и найдем корни уравнения:
3x^2 + 22x + 40 = 0
Для удобства решения, воспользуемся методом дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = 22^2 - 4*3*40
D = 484 - 480
D = 4
Найдем корни уравнения:
x = (-b ± √D) / 2a
x1 = (-22 + √4) / (2*3)
x1 = (-22 + 2) / 6
x1 = -20 / 6
x1 = -10 / 3
x2 = (-22 - √4) / (2*3)
x2 = (-22 - 2) / 6
x2 = -24 / 6
x2 = -4
Таким образом, имеем два корня уравнения: x1 = -10/3 и x2 = -4.
Шаг 4: Исследуем значения функции в найденных точках
Подставим найденные значения x1 и x2 в уравнение функции:
- Для x1 = -10/3:
y=(-10/3+4)^2(-10/3+3)-6
y=(-10/3 + 12/3)^2 (-10/3 + 9/3) - 6
y=(2/3)^2 * (1/3) - 6
y=4/9 * 1/3 - 6
y=4/27 - 6
y=-152/27
- Для x2 = -4:
y=(-4+4)^2(-4+3)-6
y=0^2 * (-1) - 6
y=-6
Таким образом, мы получили две точки, в которых значение функции достигает экстремума: x1 = -10/3 со значением y=-152/27 и x2 = -4 со значением y=-6.
Шаг 5: Сравнение значений функции на границах и точках экстремума
Теперь сравним все полученные значения функции:
y(-5)=-8, y(-10/3)=-152/27, y(-4)=-6 и y(5)=642.
Наибольшим значением функции на отрезке [-5;-3;5] является 642, при этом x=5.
Итак, наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+3)-6 на отрезке [-5;-3;5] равно 642 и достигается при x=5.