Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться с данной задачей.
Для начала, давайте разберемся, что такое первообразная функция. Первообразная функция f(x) для данной функции F(x) называется функция F(x), определенная на некотором интервале, такая что F'(x) = f(x), где ' означает производную функции. Другими словами, первообразная функция f(x) является функцией, производная которой совпадает с исходной функцией.
Для функции f(x) = 3x² - 2x + 4, нам нужно найти множество всех ее первообразных функций.
При нахождении первообразной функции, мы должны проинтегрировать исходную функцию по переменной x.
Итак, для данной функции f(x) = 3x² - 2x + 4, проинтегрируем ее:
∫(3x² - 2x + 4) dx
Давайте проведем интегрирование по частям. Для этого мы используем формулу интегрирования
∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx,
где u(x) и v(x) - функции, и u'(x) и v'(x) - их производные относительно x.
Выберем:
u(x) = x^2 так, что u'(x) = 2x,
v'(x) = 3x - 2, так что v(x) = (3/2)x² - 2x.
Теперь мы можем использовать формулу интегрирования:
Для начала, давайте разберемся, что такое первообразная функция. Первообразная функция f(x) для данной функции F(x) называется функция F(x), определенная на некотором интервале, такая что F'(x) = f(x), где ' означает производную функции. Другими словами, первообразная функция f(x) является функцией, производная которой совпадает с исходной функцией.
Для функции f(x) = 3x² - 2x + 4, нам нужно найти множество всех ее первообразных функций.
При нахождении первообразной функции, мы должны проинтегрировать исходную функцию по переменной x.
Итак, для данной функции f(x) = 3x² - 2x + 4, проинтегрируем ее:
∫(3x² - 2x + 4) dx
Давайте проведем интегрирование по частям. Для этого мы используем формулу интегрирования
∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx,
где u(x) и v(x) - функции, и u'(x) и v'(x) - их производные относительно x.
Выберем:
u(x) = x^2 так, что u'(x) = 2x,
v'(x) = 3x - 2, так что v(x) = (3/2)x² - 2x.
Теперь мы можем использовать формулу интегрирования:
∫(3x² - 2x + 4) dx = ∫(x²)(3x - 2) dx
Применяем формулу интегрирования:
= (x²)((3/2)x² - 2x) - ∫((3/2)x² - 2x)(2x) dx
= (3/2)x^4 - 2x^3 - (3/2)x^3 + 2x^2 - ∫3x^3 - 4x^2 dx
= (3/2)x^4 - 5/2 x^3 + 2x^2 - ∫3x^3 dx + ∫4x^2 dx
Выполним интегрирование отдельно для каждого члена:
∫3x^3 dx = x^4,
∫4x^2 dx = (4/3)x^3.
Подставляем результаты в исходное уравнение:
= (3/2)x^4 - 5/2 x^3 + 2x^2 - x^4 + (4/3)x^3 + c
Таким образом, первообразная функция для f(x) = 3x² - 2x + 4 имеет вид:
(3/2)x^4 - 5/2 x^3 + 2x^2 - x^4 + (4/3)x^3 + c.
Ответ: A) 3х²/2 - 2х² + 4х + с