Question

4. Луч ОА является биссектрисой угла
NOL, а отрезки ON и OL равны.
Докажите, что угол ONA = углу OLA.​

Answer 1

В данной задаче нам нужно доказать, что угол ONA равен углу OLA.

Для начала, давайте обозначим угол ONA как ∠NOA и угол OLA как ∠LOA.

Из условия задачи мы знаем, что луч ОА является биссектрисой угла NOL. Если угол NOL делится на две равные части, то это означает, что угол NOA и угол LOA, образованные этим лучом, должны быть равны и равны половине угла NOL.

Для доказательства этого факта, давайте представим, что ∠NOA ≠ ∠LOA, то есть углы не равны. Без потери общности, допустим, что ∠NOA > ∠LOA.

Так как луч ОА является биссектрисой угла NOL, это означает, что отрезок ON должен быть равен отрезку OL. Поэтому, мы можем обозначить их как ON = OL = a для упрощения рассуждений.

Теперь рассмотрим треугольники ONA и OLA. У нас есть две стороны, равные a, и углы NOA и LOA.

По свойству треугольника, сумма углов внутри него должна быть равна 180 градусам. Следовательно, угол NOL + ∠NOA + ∠LOA = 180°.

Известно, что угол NOL равен ∠NOA + ∠LOA (так как луч ОА является биссектрисой). Подставим это значение в уравнение: (∠NOA + ∠LOA) + ∠NOA + ∠LOA = 180°.

Упрощаем выражение: 2∠NOA + 2∠LOA = 180°.

Делим оба выражения на 2: ∠NOA + ∠LOA = 90°.

Но изначально мы допустили, что ∠NOA > ∠LOA. Если ∠NOA + ∠LOA = 90° и ∠NOA > ∠LOA, то это означает, что ∠NOA должен быть больше 45°, а ∠LOA должен быть меньше 45°.

Но это противоречит условию равенства сторон ON и OL, так как если ∠NOA > 45°, то сторона ON должна быть больше стороны OL, а не равна ей.

Таким образом, мы приходим к противоречию.

Из этого следует, что наше предположение было неверным, и на самом деле ∠NOA = ∠LOA.