Question

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; –1) и перпендикулярной прямой AB, если A (2; –6; 4), B (6; –3; 5).

Answer 1

Привет! Конечно, я могу помочь тебе с этим вопросом. Давай разберемся пошагово.

Для начала, нам необходимо найти векторное уравнение прямой AB используя координаты точек A и B.

1. Найдем вектор AB - это разность векторов B и A:
AB = B - A = (6 - 2, -3 - (-6), 5 - 4) = (4, 3, 1)

2. Теперь у нас есть вектор AB, но для уравнения плоскости нам необходимо найти вектор нормали к этой плоскости. Вектор нормали должен быть перпендикулярен AB.

3. Найдем векторное произведение вектора AB и некоторого вектора CD:
AB x CD = (0, 0, 0)

4. Это означает, что вектор AB и вектор CD коллинеарны (они лежат на одной прямой).

5. Теперь, чтобы найти вектор CD, мы можем взять любой ненулевой вектор, не коллинеарный с AB. Давай возьмем вектор CD = (1, 0, 0).

6. Теперь мы можем получить векторную нормаль к плоскости, взяв векторное произведение AB и CD:
AB x CD = (4, 3, 1) x (1, 0, 0) = (0, -1, -3)

Таким образом, получаем векторную нормаль N = (0, -1, -3).

7. Теперь мы можем записать уравнение плоскости, используя точку M (2, 3, -1) и вектор нормали N.

Уравнение плоскости имеет вид: N · (r - r0) = 0, где N это вектор нормали, r это произвольная точка на плоскости, r0 это точка M.

Теперь подставим известные значения:

(0, -1, -3) · (r - (2, 3, -1)) = 0

(0, -1, -3) · (x - 2, y - 3, z + 1) = 0

0*(x - 2) + (-1)*(y - 3) + (-3)*(z + 1) = 0

-1*(y - 3) - 3*(z + 1) = 0

-1*y + 3 - 3*z - 3 = 0

-1*y - 3*z = -3 + 3

-1*y - 3*z = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M (2, 3, -1) и перпендикулярной прямой AB, имеет вид -1*y - 3*z = 0.

Я надеюсь, что я смог подробно объяснить и помочь тебе с этим вопросом! Если у тебя возникли еще вопросы, не стесняйся задавать их.