V=4/3PiR^3 Можно вычислить объем тел с интегральной формулы V=(интеграл от а до b)S (x)dx
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом .Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим: r=sqrt (OC^2-OM^2)=sqrt (R^2-x^2)
Так как S(x)=пr^2 ,то S(x)=п(R^2-x^2).
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию
y=f (x)=sqrt (R^2-x^2) , -R Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
2)tg^2 a* cos^2 a+ctg^2 a*sin^2 a = ((sin²a*cos²a) / cos²a) + +((cos²a*sin²a ) / sin²a) = sin²a + cos²a = 1.
3)cos^4 a+sin^2 a*cos^2 a+sin^2 a = cos²a*(cos²a + sin²a) + sin²a = =cos²a*1 + sin²a = 1.
4) tg a/(1-tg^2 a) +ctg a /(1-ctg^2 a) =
= 2*sin a *cos² a / 2*cos a*cos (2a) +
+ 2*cos a*sin²a / 2*sin a*(-cos (2a)) = tg (2a) / 2 - tg (2a) / 2 = 0.
5)sin^2 a+cos^2 a+ tg^2 a = = 1 + sin² a / cos²a = (cos²a + sin²a) / cos²a = 1 / cos²a.
6) sin a /(1+cos a) + sin a /(1-cos a) =
= (sin a - sin a*cos a + sin a + sin a*cos a) / (1 – cos2a) = 2*sin a / (1 – -cos²a) = 2*sin a / sin²a = 2 / sin a.