Question

Докажите что четырехугольник abcd квадрат если вершины имеют координаты а ( -3;5;6) B (1;-5;7) с (8;-3;-1) D (4;7;-2)

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нам нужно проверить несколько условий.

1. Проверим, что все стороны четырехугольника ABCD имеют одинаковую длину.

Для этого вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA и сравним их.

Длина стороны AB:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
= √((1 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2 + (7 - 6)^2)
= √(16^2 + (-10)^2 + 1^2)
= √(256 + 100 + 1)
= √(357)
≈ 18.92

Длина стороны BC:
BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
= √((8 - 1)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - 7)^2)
= √(7^2 + 2^2 + (-8)^2)
= √(49 + 4 + 64)
= √(117)
≈ 10.82

Длина стороны CD:
CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
= √((4 - 8)^2 + (7 - (-3))^2 + (-2 - (-1))^2)
= √((-4)^2 + 10^2 + (-1)^2)
= √(16 + 100 + 1)
= √(117)
≈ 10.82

Длина стороны DA:
DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
= √((-3 - 4)^2 + (5 - 7)^2 + (6 - (-2))^2)
= √((-7)^2 + (-2)^2 + 8^2)
= √(49 + 4 + 64)
= √(117)
≈ 10.82

Мы видим, что длины всех сторон четырехугольника ABCD примерно равны: AB ≈ 18.92, BC ≈ 10.82, CD ≈ 10.82, DA ≈ 10.82.

Поскольку все стороны имеют одинаковую длину, это первый признак квадрата.

2. Проверим, что все углы четырехугольника ABCD равны 90 градусам.

Для этого вычислим вектора AB, BC, CD и DA и проверим их скалярное произведение.

Вектор AB:
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (1 - (-3), -5 - 5, 7 - 6) = (4, -10, 1)

Вектор BC:
BC = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (8 - 1, -3 - (-5), -1 - 7) = (7, 2, -8)

Вектор CD:
CD = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (4 - 8, 7 - (-3), -2 - (-1)) = (-4, 10, -1)

Вектор DA:
DA = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-3 - 4, 5 - 7, 6 - (-2)) = (-7, -2, 8)

Теперь посчитаем скалярное произведение векторов AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB.

Скалярное произведение AB и BC:
AB · BC = (4)(7) + (-10)(2) + (1)(-8) = 28 - 20 - 8 = 0

Скалярное произведение BC и CD:
BC · CD = (7)(-4) + (2)(10) + (-8)(-1) = -28 + 20 + 8 = 0

Скалярное произведение CD и DA:
CD · DA = (-4)(-7) + (10)(-2) + (-1)(8) = 28 - 20 - 8 = 0

Скалярное произведение DA и AB:
DA · AB = (-7)(4) + (-2)(-10) + (8)(1) = -28 + 20 + 8 = 0

Мы видим, что скалярное произведение всех пар векторов равно 0.

Поскольку скалярное произведение равно 0, это означает, что все углы четырехугольника ABCD равны 90 градусам, что является вторым признаком квадрата.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD соответствует определению квадрата: все стороны равны друг другу и все углы равны 90 градусам.