А) Мектеп асханасына қапшықпен күріш және қант әкелінді.
1 қапшық күріш 8 кг, 1 капшык кант 6 кг тартады. Егер қоймада
32 кг күріш, 30 кг қант бар болса, қай қапшық артық және қанша-
ға артық?
ә) Анам мерекеге арнап маған көйлек тікті. Оны сәндеу үшін
таспа сатып әкелуімді сурады. Ол әр жеңіне 37 см, жағасына 29 см
таспа қажет екенін айтты. Неше сантиметр таспа сатып алуым
қажет?
б) Көйлекті сәндеу үшін анама таспа қажет болды. Ол 3 м көк таспа
және әрқайсысы 5 метрден қызыл, сары, жасыл түсті таспалар
сатып алды. Анам барлығы неше метр таспа сатып алды?
в) Отбасына көкөніс өсіру үшін жер телімі бөлінді. Жер теліміні
ұзындығы 9 м, ені 7 м. Жер телімі қоршауының жалпы ұзынды
ғы қанша метр болады?
1) Убираем неоднородную часть, и решаем однородное уравнение. Т.к. уравнение второго порядка, мы должны получить два независимых решения.
y'' + 16y = 0
Решение однородного уравнения ищем в виде:
y = exp(kx), тогда y'' = k^2 exp(kx). Подставим в уравнение:
k^2 exp(kx) + 16 exp(kx) = 0
( k^2 + 16 ) exp(kx) = 0
exp(kx) не равна нулю, разделим на нее:
k^2 = - 16
k = (+/-)4i
То есть получили два независимых решения однородного уравнения.
y(x) = C1 exp(4ix) + C2 exp(-4ix)
Два независимых решения с двумя неопределенными константами.
Перейдем к другим независимым решениям и константам (расписывая экспоненту exp(ix) = cos(x) + i sin(x)):
yo = C1 exp(4ix) + C2 exp(-4ix) = [C1+C2]cos(4x) + i[C1-C2]sin(4x)
C1+C2 = A и i[C1+C2] = B - новые независимые константы
(на самом деле к новым функциям и константам переходить не обязательно. Просто синусы и косинусы сразу реальные, а от мнимых экспонент не всегда потом легко избавиться)
yo(x) = A y1(x) + B y2(x) - решение однородного уравнения.
y1(x) = cos(4x), y2(x) = sin(4x) - независимые решения
2) Дальше воспользуемся методом Лагранжа (метод вариации постоянных)
Решение исходного уравнения будем искать в виде:
y(x) = A(x) y1(x) + B(x) y2(x)
A, B - функции, которые надо найти, решив систему:
A'(x) y1(x) + B'(x) y2(x) = 0
A'(x) y1'(x) + B'(x) y2'(x) = 2sin(4x)
для производных A' и B' получили систему двух уравнений и двух неизвестных. От сюда легко найти A'(x) и B'(x)
Затем интегрируем (не забываем константы интегрирования), и получаем искомые функции и конечный ответ. Удачи вам :)