Найти наибольшее значение функции y=2sinx+cos2x на [0; π]
1. находим производную
y ' (x)= -2Sin(2x)+2Cos(x)
2.Приравниваем эту производную к нулю
-2Sin(2x)+2Cos(x)=0
3.Находим значения, при которых производная преобразуется в ноль на интервале [0; π]
x1= π/6
x2= π/2
x3= 5π/6
4.Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки
5.Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной.
[0π/6 π/2 5π/6 π]
Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом. ( π/6 и 5π/6 )
Если в начале отрезка производная будет положительной, то начало отрезка не может быть максимумом.
Если в конце отрезка производная будет отрицательной, то конец отрезка не может быть максимумом.
Не нужно вычислить значение функции на концах отрезка.
Осталось выяснить на какой из точек максимумов функция примет наибольшее значение
y(π/6) = 1.5
y(5π/6) = 1.5
Значения в этих точках равны. Наибольшее значение функции y(x)max=1.5
Пошаговое объяснение:
Универсальный найти наибольшее и наименьшее значение функции.
Необходимо провести исследование функции.
Алгоритм нахождения экстремумов.
1.Находим производную функции
2.Приравниваем эту производную к нулю
3.Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
4.Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
5.Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.
Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.
Тангенс угла наклона касательной равен производной функции в точке касания.
y' = e^x,
y'(0) = e^0 = 1.
α = arc tg 1 = 45°.