Question

Вычислить объем тела, образованного вращениемвокруг оси оy фигуры, ограниченной графикамифункций . y = x^3 y=x^2

Answer 1

ответ: π/12 единиц кубических.

Пошаговое объяснение:

Построим графики (рисунок 1).

Так как полученная фигура крутиться вокруг оси оу, выведем x из уравнений кривых:

$y=x^{2} = x=\sqrt[2]{y} \\y=x^{3} = x=\sqrt[3]{y}$

Теперь найдём объём тела вращения. Делаем следующее:

1) Так как график $x=\sqrt[3]{y}$ правее чем $x=\sqrt{y}$, то в интеграле отнимем правый график от левого графика.

2) Так как график по оси оу находиться в диапазоне [0; 1], то и пределы интегрирования будут соответствующие.

3) По формуле $V = \pi \int\limits^a_b {x^{2}(y)} \, dy$ найдём объём, учитывая, что надо отнять правый график функции от левого.

Эти шаги видно в рисунке 2.