Question

Линейные и квадратные неравенства
Решите неравенства:
1. -2x<4
2. 41x>8,2
3. x – 8 < 3x + 6
4. 3x – 5(0,6x -1)<3
5. x2 – 16 > 0
6. 2x2 – 3x – 5 <0
7. x2 – 3x – 4 ≤ 0
8. x2 – 6x + 9≥ 0

Answer 1

Добрый день! Давайте решим поставленные неравенства одно за другим:

1. -2x < 4

Для начала, давайте разделим обе части неравенства на -2. Но помните, что если мы меняем знак неравенства (делаем деление на отрицательное число), то необходимо поменять знак "<" на ">".

-2x/(-2) > 4/(-2)

x > -2

Ответ: x > -2

2. 41x > 8,2

Здесь нам нужно разделить обе части неравенства на 41:

41x/41 > 8,2/41

x > 0,2

Ответ: x > 0,2

3. x - 8 < 3x + 6

Сначала избавимся от переменных на одной стороне неравенства, перенеся все переменные справа:

x - 3x < 6 + 8

-2x < 14

Для того, чтобы избавиться от коэффициента (-2), разделим обе части неравенства на -2. Но помните, что при делении на отрицательное число необходимо поменять знак "<" на ">".

-2x/(-2) > 14/(-2)

x > -7

Ответ: x > -7

4. 3x – 5(0,6x -1) < 3

Раскроем скобки:

3x - 5 * 0,6x + 5 < 3

3x - 3x + 5 < 3

5 < 3

Это утверждение является ложным, так как 5 не меньше 3. Значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: неравенство не имеет решений.

5. x^2 – 16 > 0

Факторизуем левую часть неравенства:

(x + 4)(x - 4) > 0

Выделяем два интервала на числовой прямой, в которых выполняется неравенство: (-бесконечность, -4) и (4, +бесконечность).

Ответ: x < -4 or x > 4

6. 2x^2 – 3x – 5 < 0

Давайте найдем корни квадратного трехчлена:

x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4 * 2 * (-5))) / (2 * 2)

x = (3 ± √(9 + 40)) / 4

x = (3 ± √49) / 4

x = (3 ± 7) / 4

x1 = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 2.5
x2 = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1

Теперь составим таблицу знаков, чтобы определить, в каком интервале выполняется неравенство:
-2.5 -1 2.5
- + -
2x^2 – 3x – 5 < 0

Ответ: -2.5 < x < -1

7. x^2 – 3x – 4 ≤ 0

Давайте найдем корни квадратного трехчлена:

x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1)

x = (3 ± √(9 + 16)) / 2

x = (3 ± √25) / 2

x = (3 ± 5) / 2

x1 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4
x2 = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь составим таблицу знаков, чтобы определить, в каком интервале выполняется неравенство:
-∞ -1 4 +∞
x^2 - 3x - 4 ≤ 0

Ответ: -∞ ≤ x ≤ -1 или 4 ≤ x ≤ +∞

8. x^2 – 6x + 9 ≥ 0

Опять найдем корни квадратного трехчлена:

x = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4 * 1 * 9)) / (2 * 1)

x = (6 ± √(36 - 36)) / 2

x = (6 ± √0) / 2

x = 6 / 2 = 3

Теперь составим таблицу знаков, чтобы определить, в каком интервале выполняется неравенство:
-∞ 3 +∞
x^2 - 6x + 9 ≥ 0

Ответ: x = 3

Это все решения данных неравенств. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, обращайтесь!