По технологии расчётов порядок вопросов не совпадает с порядком ответов.
1) Для получения уравнения плоскости нужно найти СМЕШАННОЕ произведение векторов.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC – zA = 0
Подставим данные А(1;2;3), В(-1;3;5), С(2;0;4), D(3;-1;2) и упростим выражение:
x - 1 y - 2 z - 3
-1 - 1 3 - 2 5 - 3
2 - 1 0 - 2 4 - 3 = 0
x - 1 y - 2 z - 3
-2 1 2
1 -2 1 = 0
(x – 1)(1·1-2·(-2)) – (y – 2)((-2)·1-2·1) + (z – 3)((-2)·(-2)-1·1) = 0
5(x – 1) + 4(y – 2) + 3(z – 3) = 0
5x + 4y + 3z - 22 = 0.
3) Площадь треугольника АВС определим по формуле S = (1/2)|ABxAC|.
Коэффициенты векторного произведения примем из пункта 1.
S = (1/2)√(52 + 42 + 32) = (1/2) √(25 + 16 + 9) = (1/2)√50 = 5√2/2 = 3,535534.
4) Находим вектор AD = D(3;-1;2) - А(1;2;3) = (2; -3, -1).
Объём равен 1/6 смешанного произведения(AB*AC)xAD.
Используем найденное значение AB*AC = (5; 4; 3).
x y z
AB x AC = 5 4 3
AD = 2 -3 -1
Произведение: 10 -12 -3 = -5 . Используем модуль:
V = (1/6) * 5 = (5/6) куб.ед.
2) Для определения расстояния Н от точки D до плоскости АВС используем формулу объёма пирамиды: V = (1/3)SoH,
отсюда H = 3V/So = 3*(5/6)/(5√2/2) = √2/2 = 0,7071.
5) Для уравнения прямой АВ используем найденное значение вектора АВ(-1; 2; 1).
АВ: (x - 1)/(-1) = (y – 2)/2 = (z – 3)/1.
6) В уравнении прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ, направляющий вектор сохраняется такой же, как и у прямой АВ.
Подставляем к переменным координаты точки D(3;-1;2).
DE: (x - 3)/(-1) = (y + 1)/2 = (z – 2)/1.
