Question

С рисунком В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1B1C1D1, AB=5, DD1=2, B1C1=1
1) Найти B1D
2) Доказать, что плоскости A1B1C1 и BD1D вазимно перпендикулярны

Answer 1

1) Чтобы найти B1D, нам понадобится использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике B1AD1.

Треугольник B1AD1 имеет прямой угол в вершине D1, так как DD1 - высота прямоугольного параллелепипеда, а прямоугольный треугольник всегда имеет прямой угол.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

(AB)^2 + (BD1)^2 = (AD1)^2

Подставим известные значения:

(5)^2 + (BD1)^2 = (AD1)^2

25 + (BD1)^2 = (AD1)^2

Теперь нам нужно найти значение (AD1)^2. Для этого нам понадобится применить теорему Пифагора в треугольнике ADD1.

Треугольник ADD1 также является прямоугольным, так как перпендикулярные стороны прямоугольного параллелепипеда образуют прямой угол. Также, известно, что DD1 = 2.

Снова применяем теорему Пифагора:

(AD)^2 + (DD1)^2 = (AD1)^2

(AD)^2 + (2)^2 = (AD1)^2

(AD)^2 + 4 = (AD1)^2

Теперь у нас есть два уравнения, одно для (AD1)^2 и другое для (AD1)^2:

25 + (BD1)^2 = (AD1)^2
(AD)^2 + 4 = (AD1)^2

Мы знаем, что AD = AB = 5, так как противоположные стороны прямоугольного параллелепипеда равны. Подставим значение AD во второе уравнение:

(5)^2 + 4 = (AD1)^2

25 + 4 = (AD1)^2

29 = (AD1)^2

Теперь мы можем подставить это значение в первое уравнение:

25 + (BD1)^2 = 29

(BD1)^2 = 29 - 25 = 4

(BD1)^2 = 4

Теперь найдем корень из обеих сторон уравнения:

BD1 = √4

BD1 = 2

Таким образом, BD1 = 2.

2) Чтобы доказать, что плоскости A1B1C1 и BD1D взаимно перпендикулярны, мы должны показать, что вектора нормализованных нормалей этих плоскостей ортогональны друг другу.

Нормализованная нормальная вектора плоскости A1B1C1 можно найти, используя поперечное произведение векторов A1B1 и A1C1 (их можно найти, используя координаты точек A1, B1 и C1).

Предположим, что координаты точек A1, B1 и C1 такие:

A1(x1, y1, z1)
B1(x2, y2, z2)
C1(x3, y3, z3)

Тогда векторы A1B1 и A1C1 имеют следующие координаты:

A1B1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
A1C1 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)

Теперь нам нужно найти поперечное произведение этих векторов:

N(A1B1C1) = A1B1 × A1C1

Для этого применяем формулу поперечного произведения (или правило Баца-Коши):

N(A1B1C1) = ((y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1), (z2 - z1)(x3 - x1) - (x2 - x1)(z3 - z1), (x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1))

Полученный вектор N(A1B1C1) будет нормализованным, если мы разделим его на его длину:

N(A1B1C1) = N(A1B1C1) / |N(A1B1C1)|

А теперь найдем вектор нормали плоскости BD1D. В этом случае мы можем взять вектор, перпендикулярный плоскости BD1D, например, вектор BD1:

BD1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

Теперь осталось проверить, являются ли два нормализованных вектора N(A1B1C1) и BD1 ортогональными друг другу. Если их скалярное произведение равно нулю, то они являются ортогональными.

N(A1B1C1) · BD1 = (N(A1B1C1))T · BD1

где (N(A1B1C1))T - транспонированный вектор N(A1B1C1).

Если вычисленное скалярное произведение равно нулю, то мы можем сделать вывод, что плоскости A1B1C1 и BD1D взаимно перпендикулярны.